Tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin
Nella precedente lezione abbiamo introdotto gli sviluppi in serie di Taylor. Ne abbiamo dato la definizione e spiegato il significato, ossia sotto quali ipotesi si può rappresentare localmente una funzione come somma di un opportuno polinomio e di una funzione detta resto.
Ora vi proponiamo un elenco dei principali sviluppi di Taylor-Mc Laurin; gli sviluppi in serie sono uno degli strumenti più utili per affrontare lo studio dell'Analisi Matematica, e non solo... Basti pensare all'uso che se ne fa nel calcolo dei limiti, o nel calcolo della somma delle serie numeriche.
Saper riconoscere (ed eventualmente ricordare) gli sviluppi notevoli aiuta, ma vi diamo il nostro solito consiglio: imparare a memoria non serve. Le tabelle aiutano nella risoluzione degli esercizi; gli esercizi imprimono le formule nella memoria, senza sforzi.
Elenco degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin delle funzioni elementari
Gli sviluppi di Taylor-Mc Laurin, o sviluppi fondamentali, sono gli sviluppi in serie di Taylor con centro x_0 = 0 per le funzioni elementari. Possono essere usati nelle applicazioni teoriche e pratiche, dandoli per assodati.
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione esponenziale
e^(x) = 1+x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)+(x^4)/(24)+(x^5)/(120)+···+(x^n)/(n!)+o(x^n) ∀ x
In forma compatta:
e^x = Σ_(n = 0)^(∞)(x^n)/(n!) ∀ x
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione logaritmica
ln(1+x) = x−(x^2)/(2)+(x^3)/(3)−(x^4)/(4)+(x^5)/(5)+···+((−1)^(n+1))/(n)x^n+o(x^n) per |x| < 1
In forma compatta:
ln(1+x) = Σ_(n = 1)^(+∞)(−1)^(n+1)(x^n)/(n) per |x| < 1
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del binomio
(1+x)^(α) = 1+α x+(α (α−1))/(2)x^2+(α(α−1)(α−2))/(6)x^3+···+{α choose n}x^(n)+o(x^n) ; (1+x)^(α) = Σ_(n = 0)^(∞){α choose n}x^n per |x| < 1
dove con
{α choose n} = (α(α−1)(α−2)··· (α−n+1))/(n!)
non si intende il coefficiente binomiale standard, bensì il coefficiente binomiale generalizzato.
Dallo sviluppo della precedente funzione, ne riportiamo due particolari che ricorrono spesso negli esercizi.
√(1+x) = (1+x)^((1)/(2)) = 1+(x)/(2)−(x^2)/(8)+(x^3)/(16)−(5)/(128)x^4+(7)/(256)x^5−(21)/(1024)x^6+o(x^6)
[3]√(1+x) = (1+x)^((1)/(3)) = 1+(x)/(3)−(x^2)/(9)+(5)/(81)x^3−(10)/(243)x^4+(22)/(729)x^5−(154)/(6561)x^6+o(x^6)
Sviluppi di Taylor-Mc Laurin delle funzioni razionali fondamentali
(1)/(1−x) = Σ_(n = 0)^(∞)x^n per |x| < 1
(1)/(1+x^2) = Σ_(n = 0)^(∞)(−1)^n x^(2n) per |x| < 1
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del seno
sin(x) = Σ_(n = 0)^(∞)((−1)^n)/((2n+1)!)x^(2n+1) ∀ x
In forma estesa:
sin(x) = x−(x^3)/(6)+(x^5)/(120)−(x^7)/(5040)+...+((−1)^n x^(2n+1))/((2n+1)!)+o(x^(2n+1)) ∀ x
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del coseno
cos(x) = Σ_(n = 0)^(∞)((−1)^n)/((2n)!)x^(2n) ∀ x
In forma estesa:
cos(x) = 1−(x^2)/(2)+(x^4)/(24)−(x^6)/(720)+(x^8)/(40320)−...+((−1)^n x^(2n))/((2n)!)+o(x^(2n)) ∀ x
Per le funzioni successive riportiamo lo sviluppo a un ordine specifico. L'espressione generale infatti è molto complicata e poco utile per la risoluzione degli esercizi.
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della tangente
tan(x) = x+(x^3)/(3)+(2)/(15)x^5+o(x^6) per |x| < (π)/(2)
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della secante
sec(x) = 1+(x^2)/(2)+(5)/(24)x^4+(61)/(720)x^6+(277)/(8064)x^8+(50521)/(3628800)x^(10)+o(x^(10)) per |x| < (π)/(2)
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcoseno
arcsin(x) = x+(x^3)/(6)+(3)/(40)x^5+(5)/(112)x^7+(35)/(1152)x^9+o(x^9) per |x| < 1
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcocoseno
arccos(x) = (π)/(2)−x−(x^3)/(6)−(3)/(40)x^5−(5)/(112)x^7−(35)/(1152)x^9+o(x^9) per |x| < 1
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcotangente
arctan(x) = x−(x^3)/(3)+(x^5)/(5)−(x^7)/(7)+(x^9)/(9)+o(x^9) per |x| < 1
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del seno iperbolico
sinh(x) = x+(x^3)/(6)+(x^5)/(120)+(x^7)/(5040)+(x^9)/(362880)+o(x^9) ∀ x
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin del coseno iperbolico
cosh(x) = 1+(x^2)/(2)+(x^4)/(24)+(x^6)/(720)+(x^8)/(40320)+o(x^9) ∀ x
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcotangente iperbolica
arctanh(x) = x+(x^3)/(3)+(x^5)/(5)+(x^7)/(7)+(x^9)/(9)+o(x^9) per |x| < 1
Sviluppo di Taylor-Mc Laurin dell'arcoseno iperbolico
arcsinh(x) = x−(x^3)/(6)+(3)/(40)x^5−(5)/(112)x^7+(35)/(1152)x^9+o(x^9) per |x| < 1
Per ogni evenienza, potete anche calcolare online lo sviluppo di Taylor di funzioni a vostra scelta.
C'è qualcosa che non torna? Abbiamo risposto a migliaia di domande, e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. A questo proposito vi consigliamo di partire dalla scheda correlata di esercizi svolti. ;)
Nella lezione successiva ci addentreremo nella pratica e spiegheremo come calcolare gli sviluppi di Taylor in generale.
Farvel, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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