Fórmula de interpolación lineal, definición, ejemplos y más

Fórmula de interpolación lineal es el proceso de encontrar un valor entre dos puntos en una línea o curva. Para ayudarnos a recordar lo que significa, debemos pensar en la primera parte de la palabra, “inter”, como si significara “ingresar”, lo que nos recuerda que debemos mirar “dentro” de los datos que teníamos originalmente. Esta herramienta, la interpolación, no solo es útil en estadísticas, sino que también es útil en ciencia, negocios o en cualquier momento en que sea necesario predecir valores que se encuentren dentro de dos puntos de datos existentes.

El método de encontrar nuevos valores para cualquier función usando el conjunto de valores se realiza por interpolación. El valor desconocido en un punto se encuentra usando esta fórmula. Si se trata de una fórmula de interpolación lineal, debe usarse para encontrar el nuevo valor a partir de los dos puntos dados. Si se compara con la fórmula de interpolación de Lagrange, el conjunto “n” de números debería estar disponible y el método de Lagrange se utilizará para encontrar el nuevo valor.

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Fórmula de interpolación / Fórmula de interpolación lineal
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Fórmula de interpolación / Fórmula de interpolación lineal

La interpolación es un método para estimar el valor de una función entre dos valores conocidos. A menudo, alguna relación se mide experimentalmente o se rastrea con Dagra en un rango de valores. La interpolación se puede utilizar para estimar la función para puntos no tabulados.

fórmula de interpolación

Por ejemplo, suponga que tenemos datos tabulados para la resistencia térmica de un transistor tabulados para la velocidad del aire de 0 a 1800 FPM en pasos de 200 FPM. La interpolación se puede utilizar para estimar la resistencia térmica en valores no tabulados como 485 FPM.

ejemplo de interpolación

Lo siguiente es Fórmula de interpolación lineal

Fórmula de interpolación lineal

Ejemplo: Usando la fórmula de interpolación, encuentre el valor de y en x = 8 dado algún conjunto de valores (2, 6), (5, 9).
Solución: Los valores conocidos son, x0 = 8, x1 = 2, x2 = 5, y1 = 6, y2 = 9

y = y1 + (x − x1) / (x2 − x1) × (y2 − y1)

y = 6 + ((8−2) (5−2) × (9−6)

y = 6 + 6 y = 12

Fórmula de interpolación Excel

La interpolación estima puntos de datos dentro de un conjunto de datos existente. Como ejemplo simple, si tomara 15 minutos caminar 1 milla el lunes y 1 hora caminar 4 millas el martes, podríamos estimar razonablemente que tomaría 30 minutos caminar 2 millas. Esto no debe confundirse con la extrapolación, que estima valores fuera del conjunto de datos. Calcular que se necesitarían 2 horas para caminar 8 millas sería una extrapolación, ya que la estimación está fuera de los valores conocidos.

La siguiente fórmula de Microsoft Excel realiza una interpolación lineal calculando el valor del paso de interpolación:

= (fin-inicio) / (FILA (fin) -ROW (inicio))

Excel es una gran herramienta para este tipo de análisis, ya que en última instancia es solo una gran calculadora visual.

En términos de responder a la pregunta de mi lector, hay una serie de escenarios que conducirían a diferentes soluciones. Al principio, pensé que podía usar simplemente matemáticas. Esto funcionaría si los resultados fueran perfectamente lineales (es decir, los valores se mueven perfectamente sincronizados entre sí). Pero, ¿y si no están perfectamente correlacionados?

Luego pensé en la función PRONÓSTICO de Excel. Según su nombre, la función PRONÓSTICO parece una elección extraña. Parece ser una función específicamente para extrapolación, sin embargo, es una de las mejores opciones para la interpolación lineal en Excel. PRONOSTICO usa todos los valores en el conjunto de datos para estimar el resultado, por lo tanto, es excelente para relaciones lineales, incluso si no están perfectamente correlacionadas.

Entonces otro pensamiento, ¿qué pasa si la relación X e Y no es lineal en absoluto? ¿Cómo podríamos interpolar un valor cuando los datos son exponenciales?

Interpolación usando matemáticas simples

El uso de matemáticas simples funciona bien cuando hay solo dos pares de números o cuando la relación entre X e Y es perfectamente lineal. Aquí hay un ejemplo básico

Ejemplo de Excel de fórmula de interpolación La fórmula en la celda E3 es:
= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

Eso puede parecer un poco complicado para algunos, así que solo daré una descripción general rápida de esta fórmula.

= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

La última sección (resaltada en rojo arriba) calcula cuánto se mueve el valor de Y cada vez que el valor de X se mueve en 1. En nuestro ejemplo, Y se mueve en 1.67 por cada 1 de X.

= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

La segunda sección (en rojo arriba) calcula qué tan lejos está nuestra X interpolada de la primera X, luego la multiplica por el valor calculado anteriormente. Según nuestro ejemplo, es 17,5 (celda E2) menos 10 (celda A2), cuyo resultado se multiplica por 1,67 (lo que equivale a 12,5).

= B2 + (E2-A2) * (B3-B2) / (A3-A2)

Finalmente, la primera sección de la fórmula (en rojo arriba); sumamos el primer valor de Y. En nuestro ejemplo, esto proporciona el resultado final de 77,5 (65 + 12,5).

Fórmula de interpolación de Lagrange

Esta es nuevamente una fórmula de aproximación polinomial de enésimo grado a la función f (x), que se conoce en los puntos discretos xi, i = 0, 1, 2. . . Nth. La fórmula se puede derivar del determinante de Vandermonds, pero una forma mucho más simple de derivar esto es a partir de la fórmula de diferencia dividida de Newton. Si f (x) se aproxima con un polinomio de enésimo grado, entonces la enésima diferencia dividida de la constante f (x) y la diferencia dividida de (N + 1) es cero. Es decir

F [x0, x1, . . . xn, x] = 0

A partir de la segunda propiedad de la diferencia dividida podemos escribir

Fórmula de interpolación de Lagrange

Dado que la interpolación de Lagrange es también una norteAproximación polinomial de th grado a f (x) y el nortepolinomio de grado que pasa por (N + 1) puntos es único, por lo tanto, las aproximaciones en diferencias divididas de Lagrange y Newton son una y la misma. Sin embargo, la fórmula de Lagrange es más conveniente de usar en programación de computadoras y la fórmula de diferencia dividida de Newton es más adecuada para cálculos manuales.

¿Qué es la fórmula de interpolación?

La fórmula de interpolación se puede utilizar para encontrar el valor faltante. Sin embargo, al trazar una línea recta a través de dos puntos de una curva, se puede aproximar el valor en otros puntos de la curva. En la fórmula de interpolación, x-sub1 e y-sub1 representan el primer conjunto de puntos de datos de los valores observados.

¿Qué es el método de interpolación de Newton?

Interpolación hacia adelante y hacia atrás de Newton. La interpolación es la técnica de estimar el valor de una función para cualquier valor intermedio de la variable independiente, mientras que el proceso de calcular el valor de la función fuera del rango dado se llama extrapolación.

¿Qué son las matemáticas de interpolación polinomial?

La interpolación polinómica es un método para estimar valores entre puntos de datos conocidos. El principal problema con la interpolación polinomial surge del hecho de que incluso cuando una determinada función polinomial pasa por todos los puntos de datos conocidos, es posible que el gráfico resultante no refleje el estado real de las cosas.

¿Qué es un ejemplo de interpolación?

En este ejemplo, una línea recta pasa por dos puntos de valor conocido. La interpolación espacial calcula un valor desconocido a partir de un conjunto de puntos de muestra con valores conocidos que se distribuyen en un área. La distancia desde la celda con valor desconocido hasta las celdas de muestra contribuye a su estimación de valor final.

¿Qué es la fórmula de interpolación lineal?

La interpolación lineal implica estimar un nuevo valor conectando dos valores conocidos adyacentes con una línea recta. Si los dos valores conocidos son (x1, y1) y (x2, y2), entonces el valor de y para algún punto x es: La interpolación lineal es un ajuste en línea recta entre dos puntos de datos.