Productos notables

¿Qué son los productos notables?

Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas.

Los polinomios son multiplicados entres si, por lo tanto es posible que tengan una gran cantidad de términos y variables. Para hacer más corto el proceso, se usan las reglas de los productos notables, que permiten hacer las multiplicaciones sin tener que ir término por término.

Productos notables y ejemplos

Cada producto notable es una fórmula que resulta de una factorización, compuesta por polinomios de varios términos como por ejemplo binomios o trinomios, llamados factores.

Los factores son la base de una potencia y tienen un exponente. Cuando se multiplican los factores, los exponentes deben ser sumados.

Existen varias fórmulas de producto notable, unas son más usadas que otras, dependiendo de los polinomios, y son las siguientes:

Binomio al cuadrado

Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados:

a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera:

(a + b)² = (a + b) _* (a + b).

En la figura siguiente se puede observar cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto.

Ejemplo 1

(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5)² = x² + 10x+ 25.

Ejemplo 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 ab + 4b².

b. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

(a – b)² = [(a) + (- b)]²

(a – b)² = a² +2a _* (-b) + (-b)²

(a – b)²   = a² – 2ab + b².

Ejemplo 1

(2x – 6)² = (2x)² – 2 (2x _* 6) + 6²

(2x – 6)²  = 4x² – 2 (12x) + 36

(2x – 6)² = 4x² – 24x + 36.

Producto de binomios conjugados

Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente:

(a + b) _* (a – b)

En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se observa que el resultado es una diferencia de cuadrados.

Ejemplo 1

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b²)

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a² – 9b².

Producto de dos binomios con un término común

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

• El cuadrado del término común.
• Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
• Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Se representa en la fórmula: (x + a) _* (x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.

Ejemplo 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54.

Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su fórmula es la siguiente: (x + a) _* (x – b).

Ejemplo 2

(7x + 4) _* (7x – 2) = (7x _* 7x) + (4 – 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x – 2) = 49x² + (2)_* 7x – 8

(7x + 4) _* (7x – 2) = 49x² + 14x – 8.

También puede ser el caso de que ambos términos diferentes sean negativos. Su fórmula será: (x – a) _* (x – b).

Ejemplo 3

(3b – 6) _* (3b – 5) = (3b _* 3b) + (-6 – 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b – 6) _* (3b – 5) = 9b² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b – 6) _* (3b – 5) = 9b² – 33b + 30.

Polinomio al cuadrado

En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro; su fórmula es: (a + b + c)² y el resultado de la operación es un trinomio al cuadrado.

Ejemplo 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16z² + 12xy +24xz + 16yz.

Binomio al cubo

Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la siguiente manera:

a. Para el binomio al cubo de una suma:

• El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Más el cubo del segundo término.

(a + b)³ = (a + b) _* (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (a² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Ejemplo 1

(a + 3)³ = a³ + 3(a)²_*(3) + 3(a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3(a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. Para el binomio al cubo de una resta:

• El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Menos el cubo del segundo término.

(a – b)³ = (a – b) _* (a – b)²

(a – b)³ = (a – b) _* (a² – 2ab + b²)

(a – b)³ = a³ – 2a²b + ab² – ba² + 2ab² – b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Ejemplo 2

(b – 5)³ = b³ + 3(b)²_*(-5) + 3(b)_*(-5)² + (-5)³

(b – 5)³ = b³ + 3(b)²_*(-5) + 3(b)_*(25) -125

(b – 5)³ = b³ – 15b² +75b – 125.

Cubo de un trinomio

Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos. Visto de una mejor forma:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ =  a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc.

Ejemplo 1

Ejercicios resueltos de productos notables

Ejercicio 1

Desarrollar el siguiente binomio al cubo: (4x – 6)³.

Solución

Recordando que un binomio al cubo es igual al primer término elevado al cubo, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo; más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado, menos el cubo del segundo término.

(4x – 6)³ = (4x)³ – 3(4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² – (6)²

(4x – 6)³ = 64x³ – 3(16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) – 36

(4x – 6)³ = 64x³ – 288x² + 432x – 36.

Ejercicio 2

Desarrollar el siguiente binomio: (x + 3)(x+8).

Solución

Se tiene un binomio donde existe un término común, que es x y el segundo término es positivo. Para desarrollarlo solo se tiene que elevar al cuadrado el término común, más la suma de los términos que no son comunes (3 y 8) y luego multiplicarlos por el término común, más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

(x + 3)(x + 8) = x² + (3 + 8)x + (3_*8)

(x + 3)(x + 8) = x² + 11x + 24.

Referencias

1. Angel, A. R. (2007). Algebra Elemental. Pearson Educación,.
2. Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra y trigonometría con geometría analítica. Pearson Educación.
3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. United Kingdom: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Elementary and Intermediate Algebra: A Combined Approach. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Educación.