反双曲函数是双曲函数的反函数。记为(arsinh、arcosh、artanh等等)。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积),而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的,而圆角是以弧长与半径的比值定义。 [1]
- 中文名
- 反双曲函数
- 外文名
- inverse hyperbolic function
- 应用学科
- 数学
- 对 比
- 双曲函数
- 种 类
- 6种
- 求 导
- 两大类
- 定 义
- 双曲函数的反函数
我们知道,三角函数分为sin(正弦)、cos(余弦)、tan(正切)、cot(余切)、sec(正割)、csc(余割)六种。而双曲函数也如此。故而,反双曲函数也有六种。有反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切、反双曲余切、反双曲正割、反双曲余割六种。这里,就介绍比较常见的前三种:反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切。
反双曲正弦函数的幂级数展开式是:
反双曲余弦函数的幂级数展开式是:
= 。
反双曲正切函数的定义域为 。它是奇函数。在区间 内单调增加。
= 。
在数学中,双曲函数类似于常见的(也叫圆函数的)三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”,双曲余弦“cosh”,从它们导出双曲正切“tanh”等。 [3-4]
shx = (e^x - e^(-x)/2, (shx) ' =chx
chx = (e^x + e^(-x)/2, (chx) ' =shx
thx = shx / chx, (thx) ' = 1/(chx)^2 [3]
arsinh x = ln[ x+ (x^2+1)^(1/2) ] , (arsinh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)
arcosh x = ln[ x+ (x^2-1)^(1/2) ] , (arcosh x) ' = 1/ (x^2-1)^(1/2)
artanh x =(1/2) [ ln(1+x)/(1-x) ], (artanh x) ' = 1/(1-x^2) [2]