Il computer è capace di calcolare, ma non di capire. Il futuro della matematica in un’intervista ad Alain Connes.
Alain Connes
Il matematico Alain Connes, professore emerito al Collège de France, è noto per il suo rigetto della teoria delle stringhe e il tentativo ancora in fieri di operare una sintesi fra teoria della relatività e meccanica quantistica d’intesa col fisico Carlo Rovelli. Lo ha intervistato Nuccio Ordine per LA LETTURA / Corriere della Sera del 19 dicembre 2021. Titolo redazionale: “La mia sinfonia dei numeri primi”.
Matematica e musica
Il professore ha dichiarato il suo interesse per il rapporto matematica-musica sulla scia del matematico Alexander Grothendieck e del compositore Olivier Messiaen: si tratta di associare ritmi e numeri primi all’interno di una struttura musicologica.
Questo metodo associativo non è nuovo. Si è sviluppata nel tempo una trattatistica musicale in cui risulta fondamentale la matematica dalla semplicità alla complessità. Si veda, ad esempio, questo brano iniziale trascritto dal preambolo del Trattato di musica secondo la vera scienza dell’armonia (1754) di Giuseppe Tartini:
“Nel breve presente trattato, piccola parte della Scienza aritmetica antica, si suppongono cognite le comuni operazioni di sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere le ragioni […] Di consenso comune essendo quattro i mezzi di qualunque ragione, armonico, geometrico, aritmetico, contrarmonico, per dimostrazione comune darà la dupla 120, 60, essendo il mezzo armonico 80, l’aritmetico 90, il contrarmonico 100, e nella sopraccennata dimostrazione risultando oltre i tre assegnati un altro mezzo, che è 84; se sono veri mezzi i tre assegnati, sarà vero mezzo anche il quarto. Ma dati i tre mezzi, armonico, aritmetico, contrarmonico, non vi manca se non il geometrico. Dunque il risultato 84 è il mezzo geometrico, che manca: molto più perché risulta tra il mezzo armonico 80, e aritmetico 90. Non essendo 84 né l’uno, né l’altro dei due mezzi suddetti, e risultando dimostrativamente tra i medesimi, dentro dei quali deve trovarsi il mezzo geometrico, farà 84 il mezzo geometrico rispettivo all’ armonico sistema; qual mezzo ridotto con i suoi estremi relativi 120, 60, a numeri primi, è 10, 7,5. Di questo tal mezzo, come geometrico, non si ha, né può aversi idea, perché è contro la definizione e intelligenza comune […]”
Un panorama complessivo del fenomeno matematico-musicale è in Eli Maor, La musica dai numeri. Musica e matematica da Pitagora a Schönberg.
Già la scuola pitagorica nel sesto secolo a.C. aveva indicato nel numero il principio della realtà.
Erede, quindi, di Pitagora è il Tartini, come tanti altri musicologi, fra cui nel Novecento l’inventore della musica dodecafonica nominato nel testo di Eli Maor. Sia i matematici che i musicisti si rivelano eredi di Pitagora, né poteva essere altrimenti. Grazie alla matematica l’intero universo naturale e umano è stato riconosciuto come συμφωνία.
Matematica e inconscio
L’associazione di ritmi e numeri primi, afferma Alain Connes, si avvale anche di un’elaborazione inconscia.
Opportunamente Sergio Benvenuto in Gli amori di Matematica e Psicoanalisi ricorda che anche Ludwig Wittgenstein, autore fra l’altro di Conversazioni su Freud, accenna a un ritorno del rimosso in matematica: infatti in Philosophische Grammatik afferma che i dubbi sorti nell’infanzia circa l’aritmetica e allora repressi sono destinati a riaffiorare nel tempo, stimolando il bisogno di spiegazioni allora mancate. Quanto a Jacques Lacan, al quale Alain Connes si richiama, è ben noto che la sua teoria psicoanalitica si fonda sull’Uno come significante, il cui significato diviene oggetto di ricerca perché ridotto in frantumi, come ha ben messo in rilievo Alessandro Siciliano in L’Uno in psicoanalisi. Un fondamento fonduto. Il Seminario XIX “…o peggio” di Jacques Lacan.
Ci chiediamo il perché della frantumazione del significato. Orbene, siamo abituati a concepire il numero uno, quale simbolo della nostra identità, come qualcosa di solido, tale da rinviare a un significato ben preciso. Dovremmo invece renderci conto che nell’Uno si cela l’ambiguità dell’essere. È la transizione dall’Uno allo zero e viceversa a sgretolare il significato. Di qui lo stimolo alla ricerca dei motivi per cui l’io è insicuro. Insicurezza che nasce dallo sdoppiamento coscienza-inconscio. Ipotizziamo allora che la musica assuma un valore terapeutico in quanto grazie alla matematica tende a restaurare un’armonia.
Matematica e spazio-tempo
In corso d’intervista Alain Connes dichiara che l’elaborazione del pensiero matematico avverrebbe in un dimensione temporale propria dell’algebra e non della geometria.
Una così netta separazione della dimensione temporale algebrica dalla dimensione spaziale geometrica, come asserita dallo studioso in corso d’intervista, desta una certa sorpresa. Sembra assai strano che proprio lui escluda il disporsi sia dell’algebra che della geometria in un continuum spaziotemporale, dal momento che è immerso, e lo è profondamente, nella dimensione del cronotopo. Basti pensare, fra i precedenti, allo spazio-tempo di Hermann Minkowski. Nella prefazione a D.E.Liewbscher, La geometria del tempo, Julian B. Barbour scrive a proposito dei cronotopi:
“[…]Quando Minkowski scoprì che i fatti fondamentali della relatività di Einstein possono essere espressi come geometria pseudo Euclidea dello spazio e del tempo, Klein salutò questa scoperta come un trionfo del suo programma di Erlangen. Tale scoperta mostrava infatti che la trigonometria dello spazio pseudo Euclideo è la cinematica della relatività. C’è tuttavia una buona ragione per la quale la geometria proiettiva non è parte degli attuali corsi di fisica. Essa può essere applicata esclusivamente a spazi (o cronotopi) di curvatura costante, e pertanto non s’adatta alla relatività generale, nella quale la curvatura varia di solito da punto a punto. In tali circostanze si è costretti (come in meccanica quantistica)) ad usare i metodi analitici che Descartes introdusse per primo. I bei metodi sintetici degli antichi greci non sono adeguati. Tuttavia alcuni tra i cronotopi più famosi ed importanti che sono soluzioni delle equazioni di Einstein, ad esempio lo spazio di Minkowski e quello di de Sitter (ed anti de Sitter) hanno curvatura costante […]”
Ma basta pensare molto semplicemente, ad esempio, alla rotazione di un solido nello spazio, rotazione che è movimento nel tempo.
Matematica e computer
Una matematica computerizzata potrà essere utile per assicurare sempre maggiore potenza di calcolo, ma non sarà in grado di sostituire il pensiero umano. Il computer è capace di calcolare, ma non di capire. Così Alain Connes.
Non si può non essere d’accordo. Il guaio è che queste osservazioni di semplice buon senso sfuggono a quanti esaltano il pensiero computazionale. È da ritenere che il valore euristico del cosiddetto coding alla base del pensiero computazionale sia depauperato e depotenziato rispetto alle tradizionali modalità creative del pensiero. Ricordiamo una delle tante iniziative improntate all’entusiasmo per la pedagogia informatica. Integrare Coding e Pensiero Computazionale nella didattica è l’impresa della così denominata “Equipe Formazione Digitale” composta da Mario Gabbari – Roberto Gagliardi – Antonio Gaetano – Daniela Sacchi sulla scia del passaggio dal costruttivismo di Jean Piaget al costruzionismo di Seymour Papert. I membri della suddetta équipe o squadra non ignorano le obiezioni mosse da diverse parti alla loro visione pedagogica:
“Non tutti sono d’accordo sull’utilità e validità del Coding. Stefano Penge (ricercatore e docente presso diverse Università italiane) non si esprime né a favore, né contro, ma solleva dubbi e pone domande. Altri si schierano decisamente contro.”
Così gli stessi membri della equipe o squadra riassumono le principali perplessità in proposito:
“Dato che il digitale e il coding sono essenzialmente un mezzo e non un fine, qualche osservatore critico si potrebbe domandare quali possano essere i limiti per la libertà individuale, per la fantasia, per il pensiero critico, all’interno di schemi meccanicistici imposti dalla logica del linguaggio di programmazione (algoritmi imposti). Si corre pertanto il rischio che ne siano esaltati gli schematismi e si riduca il mondo dell’apprendimento solo a paradigmi logico-matematici. Il rischio insito in un credo incondizionato del Coding è di perdere l’abitudine ad applicare criteri di tempestività nella ricerca di dare soluzione ai problemi. Insegnare a pensare deve esprimere e favorire la libertà d’immaginazione, non orientare la propria mente su guide predeterminate.”
Tuttavia lo Scratch come ambiente di programmazione con il suo linguaggio informatico riceve un suo successo, dovuto anche al “ludendo discitur” caro a Erasmo di Rotterdam. La finalità ultima però inquieta, se si riduce alla sola “necessità di formare programmatori”. La logica matematica non è soltanto paradigmatica, ma anche e soprattutto creativa. Il coding ne è una limitazione. I tentativi di aggiornare la pedagogia con il pensiero computazionale legato alla pratica del coding restano ben poco persuasivi. Diciamo che i programmatori da formare seguiranno un corso di studi durante il quale apprenderanno a mettere in pratica istruzioni. Nient’altro. Al pensiero computerizzato resterà per sempre precluso il leggendario εὕρηκα archimedeo.
Matematica e didattica
Come osserva l’intervistatore, il computer serve per fare calcoli, ma non basta saper fare: bisogna anche saper sapere. Alain Connes aggiunge in proposito l’esempio di Evariste Galois. Nel suo secolo, l’Ottocento, che fu suo soltanto per un ventennio (morì infatti a venti anni in un duello), giunse a ideare dimostrazioni che avrebbero necessitato di calcoli possibili ora grazie al computer, ma non allora. Pur facendo a meno di calcoli, riuscì ugualmente a dimostrare ciò che voleva.
Stimolare la dimensione intellettiva di cui il computer è privo e rendere edotti gli allievi della nostra superiorità rispetto ad esso: ecco il compito iniziale di chi oggi intenda insegnare matematica. Questa sollecitazione dell’intelligenza umana, diversa qualitativamente da quella che vien detta intelligenza artificiale, è stata necessaria in ogni tempo. Nel nostro tempo però occorre sfatare il mito di una potenza del computer tale da superare le capacità umane. Nell’insegnare, sarà bene chiarire agli allievi affascinati dalla tecnologia che il computer è destinato a restare privo di coscienza. Il computer non sarà mai capace di esperienza esistenziale. Ad esso resta preclusa l’esperienza di provare emozioni, essendo privo dell’intelligenza emotiva studiata da Daniel Goleman. Anche la sua meccanicistica razionalità è priva della possibilità di ricerca di un principio primo. Nonostante gli entusiasmi di chi si illude che i robot possano umanizzarsi, alla macchina, priva di un sapere filosofico, è destinato a restare estraneo il cogito, ergo sum cartesiano.
Verso una nuova matematica
Nell’insegnamento si dovrà andare gradatamente verso una nuova matematica. La teoria degli insiemi, asserisce Alain Connes, è ormai superata. La matematica moderna si basa sulle categorie. Investe la fisica quantistica e la logica intuizionista. Si va concretizzando in una serie di sfide, fra le quali risalta lo sforzo per tradurre la complessità delle nuove acquisizioni concettuali in un linguaggio condiviso.
Sfide di questo tipo da una parte comportano ricerche teoretiche proprie della linguistica nella direzione da tempo indicata a cura di Tullio De Mauro in Studi sul trattamento linguistico dell’informazione scientifica, Bulzoni Editore, 1994, dall’altra una ricognizione dei modi di presentare la tematica in ambito didascalico come quella effettuata da Ludwig Wittgenstein in Wittgenstein’s Lectures on the Foundations of Mathematics (1976), che si può leggere in traduzione italiana nel volume Lezioni sui fondamenti della matematica a cura di Cora Diamond, Bollati Boringhieri, 1982. Ad Alain Connes va riconosciuto il merito di dare impulso a un rinnovamento metodologico che dal campo degli addetti ai lavori si va estendendo a sempre nuove modalità formative.
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