双曲正切函数（hyperbolic tangent function）是双曲函数的一种。双曲正切函数在数学语言上一般写作tanh，也可简写成th。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正切函数便是其中之一。
与正切函数类似，双曲正切函数在计算上等于双曲正弦与双曲余弦的比值，即tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)。
双曲正切函数导数
双曲正切的导数是双曲余弦的平方的倒数，即：
积分
双曲正切函数的不定积分有如下形式 [2]：
泰勒展开
双曲正切函数的泰勒展开式为 [3]：
反函数
反双曲正切函数的图像
函数的定义域为开区间（-1,1），它在开区间（-1,1）内是单调增加的奇函数，图形关于原点对称。
与其他双曲函数的关系
除了双曲正切函数的定义式外，双曲正切函数还有以下式子。
1、和角公式：
2、差角公式：
3、二倍角公式：
4、恒等式：
双曲正切函数的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间，且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=-1。 [3]
证明：
当
当
下面是证明：首先明确双曲正切函数的定义域是
而
得出
双曲正切函数的图像 [3]双曲正切函数在区间
证明如下：
对双曲正切函数求导。
而
双曲正切函数的图像双曲正切函数在
根据定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在（a,b）内
（2）若在（a,b）内
而双曲余弦函数恒大于0，而双曲正弦函数在x<0时，它的值小于0，x>0时，它的值大于0，即得出上述结论。
