大部分彩券買家都在做公益：除了算期望值，你最好知道這三件事

文：陳宏賓（UniMath創辦人、中興大學應用數學系助理教授）

威力彩已經連槓數十期，新聞報導預估這期（2020/07/27星期一開獎）頭獎獎金高達31億元。投注站人潮明顯比往常多了，高額獎金吸引許多人，一時間掀起一陣買樂透熱潮。

友站數感實驗室也趁此機會向大眾宣傳數學，標題是〈數感生活｜本期威力彩值得投資嗎？讓期望值告訴你〉，內容概要來說就是算期望值，期望值比成本高，所以值得投資。（期望值是一種簡單的分析工具，不需要複雜的計算，只要將每一種獎項的中獎機率乘上獎金通通加總起來，就是中獎金額的期望值）

然而如果這麼簡單的話，為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢？

背後的理由很直接：因為只有一部分的投注金額會轉入彩金。

以全世界的彩券發行來看，一般大約只有50％左右會轉入彩金，這也意味著一個很明顯但多數人卻不知道的事實——彩券的期望值大約就是購入金額的50％（如果不看累計的彩金和中獎稅金）。

至於剩餘的那50％有一部分就流入市場行銷、通路販售或者送給葉佩雯，有一部分就流進了公益慈善的社會福利補貼。因此我們雖然很少在樂透贏到錢，但輸錢的感覺也不會差到哪裡去，因為如果沒有樂透，我們恐怕必須繳付更多稅金。

有一點類似小朋友拒絕吞下苦得要命的感冒藥時，媽媽會從手裡拿出一顆小糖果來引誘你的概念。在這個情況下，投注金額X50％就是買一張樂透的期望價值，這就是為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢的理由。

既然如此，在這麼不利的前提下，為什麼仍有那麼多人瘋樂透？當然是因為任何人都可買到一個微小的機會，用一小筆錢變成大富翁。由此觀之，買樂透也算是一種理性行為。

如果你問我這回期望值大於成本了，該不該投注？我的結論也是一樣，值得。

修但幾勒，不要衝那麼快，結論雖然一樣，不過同款不同師傅，細節很重要。投注之前，除了會算期望值，你最好要知道這三件事。

一、獎金期望值比成本高≠好投資

想像一場押大小的賭局，押中賠三倍，不中籌碼歸零。但規則是每次所有籌碼必須全押，贏了可以繼續，輸光就結束了。

「該不該梭哈？又什麼時候該收手？」

你稍微計算一下，假設大小開出來的機率都是50％，發現遊戲的獎金期望值是成本的1.5倍，比成本高不少，玩一下應該是有利可圖，所以你就押了小。

結果很幸運你贏了，贏了之後，下一把你面臨同樣的賭局，差別只是手裡的籌碼變成了3倍。同樣地，遊戲的期望獎金仍然是手裡籌碼的1.5倍。

你有一點猶豫，最終又押了小，幸運的是又贏了，這下籌碼變成一開始的9倍，這下你更猶豫要不要繼續進行賭局，因為稍有理性的人都不難意識到，如此一直賭下去，雖然把把有利可圖，但最終你總是會輸個精光。因此，獎金期望值比成本高未必等於好投資。千萬不要賭上身家，即使期望值告訴你有利可圖。

二、期望值不是你的獲獎獎金預估

我在網路上看到許多鄉民網友的留言，發現不少人誤以為獎金期望值就是購買的彩券「獲獎金額的預估」，或者說成「獲利平均」。你知道嗎？網路上很流行用這句話「全世界的人平均每人約有一顆睪丸」吐槽平均的概念。平均的概念很簡單，但要用的很小心。

用在樂透上，你必須知道一張彩券的獎金期望值，有絕大部分是由頭獎獎金（極高）乘上中獎機率（極低）貢獻而來，除非你購買的彩券數量多到可以將中頭獎的機率，提高到可樂觀預期的地步，比方說買了1100萬注以上，此時中頭獎機率達到50％以上；否則務實的你應該忽略中頭獎的極低中獎率所貢獻的期望價值，重算一遍你可能就會打消下注的念頭。

Photo Credit: UniMath

此處獎金期望值所涵蓋的平均觀念，是理論上進行無限多次投注後的結果。現實中，除非你真的很有錢，否則大多數人不可能進行那麼多次，多到讓這裡的「平均」展現其意義。

假設你一生中出現100次獎金期望值大於成本的機會（一年兩次應該是高估了），每一次都花100萬買一萬注，那麼你這一輩子中頭獎的期望次數也才大約0.045次（1000,000/22,000,000）。

每張彩券的結果或多或少於獎金期望值。一個理性賭徒通常會在獎金期望值大於成本時才出手買彩券，希望賺到比成本高的報酬。

從圖中可以看出，大多數購買彩券的人都是慈善家，他們付出的總是比得到的多，讓我們一起祝福這些善心人士全家平安，事業順利發大財。

少部分的人真正賺到比成本高的報酬，但是報酬也不高；絕無僅有的致富案例只有中頭獎的那一個人，大家都希望自己成為那一個幸運兒，連我也不例外。但希望這張圖能讓各位讀者稍微冷靜，不要錯判形勢。

三、選看起來非隨機的號碼，如果你還是忍不住要買的話

一般不管何時問我，我的建議策略是「不要買！」然而如果你真的忍不住，那麼就選看起來最不像隨機產生的號碼，例如第一區1、2、3、4、5、6，第二區7號之類的組合。

這不會提高你中頭獎的機率，不過如果你真的幸運中了，你有更高的機率不需要跟其他人平分獎金。為什麼？因為大部分的人認為這種號碼不夠隨機應該不會開出來，所以自選號的人就不會去選這種號碼。但現實中，這種號碼跟其他組合的中獎機率一模一樣。

本文經UniMath授權轉載，原文刊載於此

責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航