Coordenadas polares: definición, ecuación y ejemplos

Visualización de coordenadas polares

Mire la esfera de un reloj o reloj analógico. Debería haber uno en su teléfono inteligente si realmente no posee uno de estos. Ahora imaginemos que son las 3:30, entonces la manecilla de la hora está en el 3 y el minutero en el 6. Si le pidiera que describiera la ubicación de la manecilla de la hora con respecto al minutero, ¿qué diría? Es posible que dedique algún tiempo a realizar mediciones exactas entre cada número, pero la forma más concisa de responder a esta pregunta sería decir ‘el 3 y el 6 están separados por 90 grados’. Esto, en pocas palabras, es cómo se pueden usar las coordenadas polares para simplificar la ubicación de puntos en un gráfico. Ahora, vamos a explorar cómo encontrar y usar coordenadas polares.

Definición de coordenadas polares

Las coordenadas polares son un conjunto de valores que cuantifican la ubicación de un punto basándose en 1) la distancia entre el punto y un origen fijo y 2) el ángulo entre el punto y una dirección fija.

Las coordenadas polares son un sistema complementario a las coordenadas cartesianas , que se ubican moviéndose a lo largo de un eje x y arriba y abajo del eje y de forma rectangular. Mientras que las coordenadas cartesianas se escriben como (x, y), las coordenadas polares se escriben como (r, θ).

Conversión de coordenadas cartesianas a polares

Dado que las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas son sistemas de uso común, es útil aprender a convertir entre los dos.

Primero comenzaremos con un conjunto de coordenadas cartesianas y aprenderemos cómo convertir a coordenadas polares. Nuestras coordenadas son (x, y) = (3,4) como vemos a continuación. Para convertir a coordenadas polares, queremos crear un triángulo que tenga una base a lo largo del eje xy un vértice en (3,4).

La distancia más corta entre el origen y (3,4) es ahora la hipotenusa (el lado más largo) del triángulo que hemos dibujado. Ese es el primer punto de nuestras coordenadas polares: el r en (r, θ). Para encontrar el valor de r, debemos usar el Teorema de Pitágoras.

Para encontrar el valor theta de nuestras coordenadas polares, debemos determinar el ángulo entre la hipotenusa que acabamos de encontrar y una dirección fija. La dirección estándar para este tipo de cálculo es el este, también conocido como el eje x positivo. Para encontrar θ, puedes usar una de las tres posibles expresiones trigonométricas inversas.

Entonces, nuestras coordenadas cartesianas (3,4) corresponden a las coordenadas polares (5,53,13 grados).

Conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas

El proceso de conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas es similar. Las ecuaciones que acabamos de aprender solo necesitan ser reelaboradas para aislar y resolver x e y.

Ahora que sabemos cómo convertir en ambos sentidos, pasemos a algunos ejemplos.

Ejemplos: trabajar en diferentes cuadrantes

En nuestro primer ejemplo, estábamos trabajando en el cuadrante I del plano cartesiano de coordenadas. También puede encontrar problemas en los Cuadrantes II, III o IV. Cada cuadrante abarca un rango diferente de valores de θ, que se resumen en la Tabla 1.

tabla 1

Ahora trabajaremos con problemas de ejemplo que tratan con los otros cuadrantes.

Ejemplo de cuadrante II

Convierta (-4, 3) de coordenadas cartesianas a polares.

Usando las fórmulas que hemos aprendido, resolvemos para r y luego θ.

El paso final es ajustar el ángulo para que esté dentro del rango θ para el cuadrante II, lo que se puede lograr agregando 180 grados. Esto debe hacerse para hacer referencia correctamente al ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo.

θ ahora coincide con el rango dado en la Tabla 1 para el Cuadrante II. En nuestro siguiente ejemplo, saltaremos al Cuadrante IV, ya que el Cuadrante III requiere el mismo ajuste que acabamos de ver en este ejemplo.

Ejemplo de cuadrante IV

Convierta (4, -3) de coordenadas cartesianas a polares.

Usando las fórmulas que hemos aprendido, resolvemos desde ry luego θ.

El paso final es corregir para ajustar el ángulo para que esté dentro del rango θ para el cuadrante IV, lo que se puede lograr esta vez agregando 360 grados. Esto debe hacerse para hacer referencia correctamente al ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo.

Aplicaciones: Representación gráfica de funciones polares

Hay varias herramientas disponibles para graficar funciones polares. Si no posee una calculadora que cree dicho gráfico, puede trazar a mano siguiendo los pasos a continuación.

1. Reemplaza los valores de θ en una función dada r = f (θ)
2. Convierta r y θ en una coordenada x
3. Convierta r y θ en una coordenada y

Ejemplo: trazar un círculo

Grafica la función polar r = 4cos (θ)

Para resolverlo, elija una matriz de valores θ para usar en los pasos 1-3

θ = 0

1. r = 4 * cos (0) = 4 * 1 = 4
2. x = r * cos (0) = 4 * cos (0) = 4 * 1 = 4
3. y = r * sin (0) = 4 * 0 = 0

θ = 45

1. r = 4 * cos (45) = 4 * (√2 / 2) = 2√2
2. x = r * cos (45) = 2√2 * (√2 / 2) = 2
3. y = r * sin (45) = 2√2 * (√2 / 2) = 2

θ = 90

1. r = 4 * cos (90) = 4 * 0 = 0
2. x = r * cos (90) = 0 * cos (90) = 0 * 0 = 0
3. y = r * sin (90) = 0 * 1 = 0

Algunos de los posibles resultados se enumeran en la siguiente tabla.

Cuando se traza el gráfico, vemos el contorno básico de un círculo. A medida que ingrese más puntos, comenzará a verse como un círculo más completo.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos que las coordenadas polares son un conjunto de valores que cuantifican la ubicación de un punto según la distancia y la dirección. Aprendimos cómo convertir entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas, y cómo abordar diferentes cálculos y gráficos de coordenadas polares. Ahora está preparado para abordar el cuestionario final de la lección.