¿Qué es el movimiento pendular?
El movimiento pendular es un movimiento de vaivén realizado por un objeto más o menos pesado, llamado péndulo, suspendido por una cuerda o varilla ligera, fija en su otro extremo.
Al péndulo se le confiere un impulso inicial y se le deja oscilar, de esta forma el objeto describe arcos de ida y vuelta. Este es principio del funcionamiento de los relojes de péndulo, los columpios, las mecedoras y los metrónomos de péndulo, usados para marcar los tiempos en la música.
Se cuenta que hacia 1581, Galileo Galilei observó el vaivén de una lámpara en la catedral de Pisa, observando que, si bien la amplitud de la oscilación del candelabro iba disminuyendo a causa de la fricción con el aire, no así el tiempo de duración del ciclo.
Esto llamó mucho la atención de Galileo, quien decidió continuar con el estudio y determinó que el período del péndulo no depende de la masa, sino de la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda, como se verá más adelante.
Características del movimiento pendular
Un péndulo es muy fácil de construir, ya que basta con una plomada colgada de un hilo de algodón y sujeta por el otro extremo con los dedos o atándolo a un soporte como un clavo.
Luego del pequeño impulso inicial, el peso se encarga de mantener oscilando al péndulo, aunque el rozamiento va disminuyendo la amplitud del movimiento, hasta que este finalmente cesa por completo.
La principal característica del movimiento pendular es ser repetitivo, por ser un movimiento de vaivén. Ahora bien, para facilitar su estudio, conviene hacer algunas simplificaciones para enfocarse en un modelo más sencillo, llamado el péndulo simple.
El péndulo simple
Es un sistema ideal que consiste en una plomada, considerada como una masa puntual m, sujeta a una cuerda liviana e inextensible de longitud L. Las características de este sistema son:
- Tener un movimiento repetitivo y periódico, consistente en recorrer de ida y vuelta un arco de circunferencia de radio igual a L.
- No toma en cuenta el rozamiento.
- La amplitud del movimiento es pequeña (< 5º).
- El período es independiente de la masa m, y depende únicamente de la longitud L del péndulo.
Fórmulas y ecuaciones
El siguiente es un diagrama del péndulo simple, sobre el cual actúan dos fuerzas: el peso P de magnitud mg, que está dirigido verticalmente hacia abajo y la tensión T en la cuerda. No se consideran rozamientos.
El eje de referencia es el eje vertical y coincide con la posición θ = 0, a partir de allí se mide el desplazamiento angular θ, ya sea en un sentido o en otro. Se puede asignar el signo + al desplazamiento hacia la derecha en la figura.
Para estudiar el movimiento del péndulo, se elige un sistema de coordenadas con el origen en el péndulo mismo. Este sistema tiene una coordenada tangencial al arco de circunferencia A´CA descrito por el péndulo, así como una coordenada radial, dirigida hacia el centro de la trayectoria.
En el instante que se muestra en la figura, el péndulo se está moviendo hacia la derecha, pero la componente tangencial de la gravedad, llamada Ft, se encarga de hacerlo regresar. Se advierte de la figura que esta componente tiene sentido contrario al movimiento.
En cuanto a la tensión en la cuerda, esta se equilibra con la componente del peso mgcosθ.
La fuerza neta es, pues, la que se denomina Ft y por segunda ley de Newton es igual al producto masa × aceleración, y esta a su vez, es la segunda derivada del desplazamiento lineal s, que es el arco recorrido por el péndulo. Entonces:
Desplazamiento angular
Hay que expresar la ecuación en términos de una sola variable, recordando que el desplazamiento angular θ y el arco recorrido están relacionados mediante la ecuación:
s = L.θ
La masa se cancela a ambos lados y si la amplitud es pequeña, el ángulo θ también, de manera la siguiente aproximación es válida:
sen θ ≈ θ
Con esto se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la variable θ(t):
Esta ecuación es muy fácil de resolver, pues su solución es una función cuya segunda derivada sea la función misma. Hay tres alternativas: un coseno, un seno o una exponencial. La función coseno se escoge para el desplazamiento angular θ (t), ya que es una función bien conocida y fácil de manejar.
El lector puede comprobar, derivando dos veces, que la siguiente función satisface la ecuación diferencial:
θ (t) = θm cos (ωt + φ)
Donde θm es ángulo máximo que se desplaza el péndulo respecto a la vertical y la frecuencia angular ω es:
La constante φ se añade para dar generalidad a la solución y se ajusta en concordancia con las condiciones iniciales.
Ecuación del período
El período T del movimiento es el tiempo que tarda en ejecutar un ciclo y se define como:
Sustituyendo ω:
Tal como se estableció anteriormente, el período no depende de la masa del péndulo, sino únicamente de su longitud.
Ejemplos de movimiento pendular
Medida del ritmo cardíaco
Galileo tuvo la ocurrencia de medir el ritmo cardíaco de las personas, ajustando la longitud del péndulo hasta hacerlo coincidir el período con las pulsaciones del corazón de una persona.
El reloj de péndulo
Este es sin duda, uno de los ejemplos de movimiento pendular más familiares. La fabricación de relojes de péndulo tiene tanto de ciencia como de arte. El físico holandés Christian Huygens (1629-1695) desarrolló el primer reloj de péndulo en 1656, basado en el estudio hecho años atrás por Galileo.
El péndulo de Foucault
Es un péndulo un tanto diferente al descrito anteriormente, ya que este es capaz de girar en cualquier plano vertical. Fue creado por el físico francés Léon Foucault (1819-1868) y se usa para visualizar la rotación de la Tierra.
Ejercicio resuelto
Un péndulo simple pasa cada 0.5 s por la posición de equilibrio. ¿Cuál es la longitud del hilo?
Solución
Como el período es el tiempo que tarda en realizar un ciclo completo, en el cual pasa dos veces por la posición de equilibrio: una de ida y la otra de vuelta, entonces:
T = 2× 0.5 s = 1 s
De:
Se despeja la longitud L del hilo:
El hilo mide 0.25 m o 25 cm de largo.
Referencias
- Figueroa, D. (2005). Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 2. Dinámica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
- Giambattista, A. 2010. Physics. 2nd. Ed. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
- Katz, D. 2013. Physics for Scientists and Engineers. Foundations and Connections. Cengage Learning.
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.