Tous les médecins prêtent le serment d'Hippocrate et nombre de philanthropes prêtent le serment d'Hippocrite.
L'algèbre reine des maths courantes
J'ai remarqué dés mes débuts en maths (donc bien avant d'avoir le bac) que l'algèbre se distinguait des autres branches des mathématiques. Le raisonnement est toujours d'une fluidité et d'une élégance en algèbre. L'élégance de l'algèbre s'étend même jusqu'aux notations en algèbre. Est-ce que vous avez le même ressenti, et si oui, qu'est-ce qui explique que l'algèbre soit si parfaite comparée aux autres branches mainstream des maths ?
Réponses
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Un peu tôt pour le troll du week-end ?
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Il est vrai que l'algèbre contient de très beaux raisonnements (tout comme les autres branches des maths) mais également des raisonnements beaucoup moins élégants. La première preuve qui me vient à l'esprit de la simplicité de $\mathcal{A}_n$ (pour $n \neq 4$) est certes faisable mais je ne parlerais pas d'élégance. Et je pense que l'on peut multiplier de tels exemples.
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Bonjour,Le fait qu'une branche soit "fluide" si on parle de la même chose, a une grande corrélation avec son ancienneté.Plus une théorie est ancienne, plus on tend vers des hypothèses optimales, on "améliore" les définitions, on élimine toutes les choses superflues pour avoir des descriptions les plus simples et efficaces possibles.D'après ce que j'ai remarqué c'est ce qui explique pourquoi au niveau M2 et plus on a cette impression que certains cours sont en chantier comparé aux cours de licence par exemple (parce que c'est vraiment le cas).Je ne suis pas spécialiste mais si tu vas lire de l'algèbre "actuelle" (je n'ai pas de définition précise sur ce dernier terme surtout qu'à partir d'un certain niveau les branches commencent à se mélanger), je ne pense pas que tu vas retrouver la fluidité dont tu parles.
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Non, ce n'est pas un troll, c'est je pense une invitation à méditer sur la beauté de l'algèbre et sa comparaison avec les autres branches des mathématiques telles qu'elles existent, je pense que c'est ce que signifie le terme jargonnant « mainstream », qui n'était pas indispensable, et dont je ne suis pas certain de comprendre la signification.C'est un beau sujet de réflexion.
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En début de parcours universitaire, les théories algébriques ont l'avantage d'être immédiatement parfaitement définies via des structures axiomatiques (groupes, espaces vectoriels). On est alors amené à "jouer" avec un petit nombre d'axiomes pour démontrer des propriétés. C'est facile, ludique et clair.
Cela a deux avantages en comparaison avec l'autre grande discipline qu'est l'analyse :
1) Les structures algébriques utilisent des axiomes formulés au premier ordre alors qu'avec l'analyse on va directement dans le second ordre.
2) L'analyse repose sur des bases non définies car très peu de professeurs construisent réellement $\R$ avec leurs étudiants. De plus les définitions d'analyse ont une complexité syntaxique qui devient rapidement élevée (e.g. les limites).
Ceci je pense contribue à percevoir l'algèbre comme étant simple et élégante. -
Les grands sous-domaines des mathématiques ("algèbre; géométrie; analyse ...") se recoupent largement et on ne peut plus les imaginer comme branches distinctes des mathématiques de nos jours.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Je n'ai pas modifié le titre pour l'instant car je ne suis pas sûr de quel serait le bon équivalent français.
Sur le fond de la question, l'algèbre a tendance à être plus conceptuelle, tandis que l'analyse est plus calculatoire.
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Bonjour,Une suggestion @JLT mainstream, c'est tout simplement l'opposé de underground !Comment ça je trolle ? Pas plus que quand Congru dit que l’algèbre est plus parfaite que d'autres branches, c'est juste une question de gout (et c'est plutôt le mien mais ce n'est pas vraiment intéressant).
La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley) -
"Mainstream" c'est la négation de "fringe" et "fringe" signifie littéralement "marginale".Donc, la bonne traduction de "mainstream" serait "non marginale" deux mots. Il y a des expressions qui se disent mieux dans une langue que dans une autre.Et non, ce n'est pas un "troll". Je crois qu'il y a un médaillé Fields qui avait comme objectif d'algébriser l'analyse.Disons que je vois la méthode algébrique comme un modèle exemplaire.
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maths "mainstream" se traduirait bien par "maths courantes".
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
D'accord, j'ai déjà entendu l'expression, j'ignorais que c'était ça sa signification.
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On pourrait aussi traduire par "grand public" avec souvent une connotation péjorative.
La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs. -
C'est marrant de se sentir obligé de donner un titre de "reine" à l'une des branches des mathématiques. On peut apprécier davantage ou se sentir plus à l'aise dans l'une des branches, mais il ne me viendrait pas à l'idée de classer ces disciplines.Je précise que moi je suis clairement analyste et n'ai pas eu l'occasion de faire de l'algèbre à très haut niveau, mon cours le plus élevé d'algèbre était le cours de C. Peskine d'algèbre commutative. Au passage, bien que davantage analyste par goût et par intérêt, j'avais tout de même été dans le top 10% de cette option, souvent prise par ceux qui voulaient faire le DEA d'algèbre. J'avais été moins bien classé en Analyse fonctionnelle chez H. Brézis ...Voici quelques points qui me font préférer l'analyse :- l'algèbre par son économie de moyens a tendance à t'imposer la méthode de résolution : pour démontrer que $x$ (par exemple rationnel pour rester dans le champ de l'algèbre) est nul, bah pas le choix, tu dois démontrer qu'il est nul, en analyse tu peux démontrer qu'il satisfait pour tout $\varepsilon>0$, $|x| \leq \varepsilon$. Plus de liberté, ce qui convient mieux à mon esprit ;- je n'ai pas suivi si cela a changé, mais sauf erreur son théorème fondamental n'admet pas encore de démonstration purement algébrique. Un comble pour une partie soi-disant "reine", finalement ce qui est qualifié de son théorème fondamental reste dans son domaine une simple conjecture. Je me souviens d'ailleurs de ma prof de spé, bien qu'algébriste, nous présenter la démonstration en passant par les corps de rupture, a priori l'une des plus algébriques possibles, nous dire que cette démonstration est certes la plus algébrique, mais en même temps la moins élégante et la moins naturelle des démonstrations les plus courantes. L'étude de ce qui se passe autour du point de minimum, démonstration couramment faite en licence, est très naturelle et est typiquement un raisonnement d'analyse, et ne parlons même pas de Liouville qui cloue la démonstration en 20 secondes chrono, démonstration tout à fait naturelle dès que l'on dispose de l'analyse complexe.- par ailleurs, je trouve aussi que si les mathématiques veulent un jour s'occuper d'applications, le monde réel est rarement un monde de l'exactitude, il faut donc accepter de manipuler des objets approchés et contrôler leurs approximations. On connaît les résultats de la théorie de Galois, ok c'est magnifique, mais moi j'ai une équation de degré $7$ sans factorisation évidente, si je me refuse à manipuler de l'approximation (contrôlée) je reste bloqué. Et pour avoir aidé une fois une économiste pour un de ses articles de recherche, je me suis rendu compte qu'il était même pour elle plus pertinent d'avoir des solutions approchées de son équation de degré $4$ que d'utiliser les formules "illisibles" données par la méthode de Ferrari.Paradoxalement il m'a fallu un peu de recul pour apprécier l'algèbre. Dans les exos sur les groupes ou les anneaux, si tu n'as pas l'idée de l'astuce de multiplier par le terme adéquat, tu ne démarres pas ... En algèbre linéaire, tu t'ennuies royalement à calculer des produits de matrices, des noyaux, des images, des déterminants, résoudre des systèmes par Pivot, bref des calculs d'une certaine manières simples, mais justement incroyablement ennuyeux car trop simples. Je ne vois pas ce qu'il y a d'élégant dans l'acquisition des outils de l'algèbre linéaire.
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math2 a dit :
je n'ai pas suivi si cela a changé, mais sauf erreur son théorème fondamental n'admet pas encore de démonstration purement algébrique.Je ne vois vraiment pas comment il pourrait y avoir une démonstration purement algébrique vu que le théorème porte sur le corps $\C$ et donc finalement $\R$. À un moment de la preuve, aussi algébrique soit-elle, il faudra bien utiliser une propriété de $\R$ ou $\C$, donc de l'analyse.
par ailleurs, je trouve aussi que si les mathématiques veulent un jour s'occuper d'applications, le monde réel est rarement un monde de l'exactitude, il faut donc accepter de manipuler des objets approchés et contrôler leurs approximations.L'algèbre a également des applications pratiques. Juste une au bol : les codes correcteurs d'erreurs.
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Mainstream peut aussi se traduire par subventionné, comme dans media mainstream.
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Salut @math2,
Le théorème fondamental de l'algèbre est en fait un corollaire du théorème purement algébrique qui dit que pour tout corps réel clos $R$, $R(\sqrt{-1})$ est algébriquement clos.
En effet, $\mathbb R$ est un corps euclidien et tout polynôme de $\mathbb R[X]$ de degré impair admet une racine réelle donc $\mathbb R$ est un corps réel clos.
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gai requin a dit :
tout polynôme de $\mathbb R[X]$ de degré impair admet une racine réelle donc $\mathbb R$ est un corps réel clos.Et ça, ça se démontre de façon purement algébrique ? La première idée qui me vient c'est le théorème des valeurs intermédiaires... qui relève de l'analyse ou de la topologie. Y a t-il une preuve purement algébrique de ce fait ?Sinon la sempiternelle querelle des analystes contre les algébristes... Puisqu'on demande ici des ressentis personnels, allons-y : j'ai longtemps préféré l'algèbre avec peu ou prou les mêmes arguments que congru : élégance, pureté etc...
J'en suis un peu revenu. J'apprécie toujours le caractère synthétique et structurant de l'algèbre et je le trouve toujours très élégant.Mais comme le dit @math2, l'analyse me semble - à mon très modeste niveau - permettre une plus grande liberté. En effet, si j'ai longtemps préféré l'algèbre c'est sans doute aussi qu'elle me rassurait par sa rigidité, son côté algorithmique où on sait bien qu'en déroulant la mécanique on va finir par y arriver.En analyse, on navigue beaucoup plus à vue, on bricole, on teste des choses, il n'y a pas de belle mécanique à faire tourner qui va mener au résultat et je m'y sentais bien moins à l'aise mais, maintenant, libéré des contraintes de réussite de lorsque j'étais étudiant, j'y prends vraiment goût.Et, il y a l'infini. En analyse, on est sans cesse en train de jouer avec l'infini et la notion de limite. L'analyse rend le concept d'infini naturel et manipulable, c'est quand même fabuleux...Aujourd'hui, je serai bien en peine de dire laquelle de ces deux grandes branches des maths je préfère ou trouve la plus belle.
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Moi, je trouve que ma fille est beaucoup plus belle que Miss France et même que Miss Univers.
Ceux qui ne voient pas le rapport n'ont pas la notion de morphisme en tête.Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
@gimax : Le théorème sur les corps réels clos est purement algébrique.Le fait que $\mathbb R$ est réel clos relève bien entendu de l’analyse.
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Ce que j’aime dans l’algèbre des structures c’est qu’elle semble conçue par un maniaque de la législation: il y a des interdits partout (dans les corps, les anneaux, les modules), des contre-exemples à la pelle, des propriétés vraies dans tel espace, aberrantes dans d’autres etc… Et il faut naviguer tel un expert du droit dans cette législation de l’abstrait.
L’attrait intellectuel d’une théorie mathématique peut aussi évoluer (chez l’amateur du moins !) Les professionnels trouvent généralement une voie et s’y tiennent. L’aspect laborieux du calcul matriciel peut éloigner (à tort) les étudiants des charmes de l’algèbre linéaire.Au CNAM, notre prof de TD nous disait sa perplexité devant le problème de Basel: une somme n’impliquant que des inverses de carrés d’entiers converge vers $\pi^2/6$. Sentiment partagé en relisant une de mes notes de cours. Le sujet est le calcul (bien connu) de la somme
\begin{equation}
\displaystyle S_0= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}
\end{equation}
Feriez-vous spontanément le lien entre cette somme infinie d’entiers
\begin{equation}
\displaystyle S_1= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n f(n)
\end{equation}
et la fonction trigonométrique cosécante ? Moi, pas du tout ! Et pourtant… Ce sont ces rapprochements vertigineux qui font, en partie, la beauté de l’analyse complexe. L’algèbre, c’est autre chose.
En conclusion : toutes les mathématiques sont belles après une certaine heure et on ne peut décemment pas être l’homme ou la femme d’une seule théorie. C’est comme ne jamais quitter son quartier. -
Dans la préface du tout-en-un pour la licence 3, écrite pas Alain Connes, on peut lire l'extrait suivant :les mathématiques apparaissent comme la réunion de sujets distincts comme la géométrie, qui a pour objet la compréhension du concept d’espace, l’algèbre, art de manipuler les symboles, l’analyse, science de l’infini et du continu, la théorie des nombres etc.
À vous de voir ce qui vous fait le plus rêver entre manipuler bêtement des symboles et devenir maitre de l'infini et du continuum, personnellement j'ai fais mon choix
La citation précédente est volontairement tronquée, le paragraphe complet étant :« Vues de loin les mathématiques apparaissent comme la réunion de sujets distincts commela géométrie, qui a pour objet la compréhension du concept d’espace, l’algèbre, art de ma-nipuler les symboles, l’analyse, science de l’infini et du continu, la théorie des nombres etc.Cette division ne rend pas justice à l’un des traits essentiels des mathématiques qui est leurunité profonde de sorte qu’il est impossible d’en isoler une partie sans la priver de son es-sence. En ce sens les mathématiques ressemblent à un être biologique qui ne peut survivreque comme un tout et serait condamné à périr si on le découpait en morceaux en oubliantson unité fondamentale.»
ce qui change pas mal le sens du bout de phrase que j'ai donné 🙃 -
En lisant tout ça, ça m'a inspiré cette pseudo-réflexion : l'algèbre est une science, l'analyse est un art.
Mais en relisant l'extrait d'Alain Connes, il utilise les mêmes mots, mais en les inversant : l'algèbre, art de manipuler les symboles, et l'analyse, science de l'infini et du continu...
Lequel, de l'algèbre ou de l'analyse se rapproche le plus de l'art ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Je vous fâchez pas, il n’y a qu’à rebaptiser théorème fondamental de l’analyse (quitte a ajouter un numéro) le théorème dit fondamental de l’algèbre, et voilà !, comme disent les anglois.
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gai requin a dit :@gimax : Le théorème sur les corps réels clos est purement algébrique.Le fait que $\mathbb R$ est réel clos relève bien entendu de l’analyse.Pour le premier théorème, j'avais bien compris que c'était purement algébrique. Je m'interrogeais sur l'existence d'une preuve algébrique du fait que $\R$ est réel clos qui, d'après ce que tu dis, n'existe pas.Puisque pour montrer D'Alembert-Gauss on utilise à un moment que $\R$ est réel clos, il n'y a pas de preuve purement algébrique du théorème fondamental de l'algèbre.
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C'est bien pour cela que l'algèbre est la reine des mathématiques : elle a rejeté de son palais tout ce qui gêne !
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Bon admettons que l' algèbre est reine. L'analyse est roiLe 😄 Farceur est fasciné par notre cher Nico-le prof le sérieux
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Si l'on veut pasticher Lefschetz : tant qu’on fait tourner une manivelle, c’est de l’Analyse, mais quand il y a une idée c’est de l'Algèbre.
Pour Lefschetz, cela caractérisait en fait respectivement l'Algèbre et la Topologie ; c'est un peu expéditif, non ?
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Peut-être l'un des résultats qui m'a le plus épaté en maths est celui sur les équations différentielles universelles (équation explicite dont toute fonction continue est solution en un sens faible mais tout de même exigeant). Le résultat est surprenant, sa portée potentiellement épistémologique énorme, une fois l'idée du premier auteur comprise c'est un truc somme toute assez simple (mais bravo à l'éclair de génie d'y avoir pensé). Et ici l'idée relève de l'analyse, l'élimination des paramètres (en gros l'aspect calculatrice) davantage de l'algèbre. Je m'en étais fait un développement pour l'agrégation, nul doute que ça aurait épaté le jury.
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La théorie des nombres se divise grosso modo en deux grandes branches: la théorie analytique des nombres et la théorie algébrique des nombres et ces deux branches semblent communiquer fortement. J'ai par exemple trouvé une formule de limite où une fonction $f$ "paramètre" donne la fonction zêta classique de l'analyse pour certaines fonctions $f$ tandis que pour d'autres fonctions $f$ on voit apparaitre une fonction zêta pour une courbe elliptique sur un corps fini qui sent plutôt l'algèbre. Je trouve ça merveilleux et le signe d'une certaine unité des mathématiques.
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Et la géométrie arithmétique ?
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Et la topologie algébrique c'est de l'algèbre ou de l'analyse ?
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Dans ce forum, toutes les branches sont représentées, mais les faits sont là : l'analyse est royal et incontournable, suivie de l'algèbre.
Le 😄 Farceur est fasciné par notre cher Nico-le prof le sérieux -
Les démos d’algèbre jusqu’au niveau L3 sont “simplifiées“. On a 100 ans de recul donc on a trouvé des méthodes plus directes. Les mathématiciens qui avaient trouvé ces preuves l’avaient fait de manière très très tortueuse. C’est pour ça que certain ont l’impression que les démonstrations d’algèbre sont ”jolies“ : en licence les difficultés de ”chercher“ les lemmes sont cachées. C’est évidemment aussi le cas en Analyse / Proba mais on peut difficilement se passer de mettre les epsilons en quatre et faire des cas particuliers de cas particuliers pour bien comprendre ce qu’il se passe.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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Soit $K$ un corps (commutatif). Alors L'énoncé suivant est réfuté dans les deux cas examinés ci-dessous:"pour tout $x$ dans $K$, si $x^2 \neq -1$ alors $K[X]/ \langle X^2+1 \rangle$ est algébriquement clos $(\dagger)$.1°) Lorsque $K=\mathbf F_3$. Tous les carrés de $K$ sont alors égaux à $1$ ou $0$ et aucun corps fini ne peut être algébriquement clos (si $t_1,...,t_N$ sont les éléments de ce corps, $1+\prod_{i=1}^N (X-t_i)$ n'y possède aucune racine).
2°) Lorsque $K:= \R(T)$. Soit $n$ un entier, alors $X^n-T$ est un élément irréductible de $\R[T][X]$ (Eisenstein) et il est alors également un élément irréductible de $\R(T)[X]$. Ainsi $\R(T)[X]/\langle X^n - T\rangle$ est un corps et $\R(T)$ possède des extensions finies (donc algébriques) de degré arbitrairement grand. Ceci empêche $\R(T)[X]/\langle X^2+1 \rangle $ d'être un corps algébriquement clos (de telles extensions ne pouvant s'y plonger).
$-1$ n'est pas un carré dans $\R(T)$ (sans quoi on a $\left (\frac F G \right)^2 = -1$ avec $F,G\in \R[T]$ premiers entre eux, puis $F^2=-G^2$ et enfin, pour tout $x\in \R$, $F(x)^2 = -G(x)^2$ qui entraîne $F(x)= G(x) = 0$ pour tout $x$ puis $F=G=0$ et une contradiction).Finalement $(\dagger)$ est réfuté quand $K= \R(T)$ (et donc enrichir $(\dagger)$ avec des choses comme "la caractéristique du corps est nulle" ne le rend pas plus vrai).
3°) exo: $\Q[X]/\langle X^2+1\rangle$ n'est pas algébriquement clos (2° pouvant servir d'inspiration).################################################La morale de cette morale est que l'énoncé "pour tout corps commutatif $K$, $-1$ est un carré dans $K$ ou bien $K[X]/ \langle X^2+1 \rangle$ est algébriquement clos" est réfuté dans ZFC (ou tout fragment d'icelui qui prouve les propriétés de base de la théorie des corps). Par suite si on prouve $(\dagger)$ pour un corps $K$ quelconque sans préciser de qui il s'agit, ZFC sera prouvée contradictoire.
Ainsi et en l'état actuel des connaissances scientifiques il est impossible de démontrer (sauf contradiction dans les maths courantes) le théorème de d'Alembert-Gauss ("$\C$ est algébriquement clos") sans utiliser le fait que ... $\R$ est bien $\R$ et pas n'importe qui d'autre!!
La manière de le formuler en disant "qu'il n'existe pas de preuve << purement algébrique>> du théorème de d'Alembert-Gauss" est un peu maladroite.
Il m'arrive de dire parfois que l'Analyse est l'étude de $\R$ (et dans ce cas le slogan "toutes les preuves de "d'Alembert-Gauss sont analytiques" est tautologiquement justifié
) mais cette provocation n'est pas du goût de tout le monde Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys : pour 2), on peut aussi raisonner comme cela, si $\R(T)[X]/(X^2+1)$ est algébriquement clos, alors l'équation (d'inconnue $Y$) $Y^2-T=0$ a une racine, donc il existe $A(T),B(T) \in \R(T)$ tels que $(A(T)+B(T)X)^2=T$, donc $A(T)^2-B(T)^2=T$ et $2A(T)B(T)=0$, donc $A$ ou $B$ est nul, donc $F(T)^2=TG(T)^2$ (si $A=F/G\neq 0$) ou $-F(T)^2=TG(T)^2$ (si $B=F/G\neq 0$). $TG(T)^2$ est de degré impair, car $G(T)\neq 0$, et $F^2(T)$ est de degré pair. Donc contradiction.
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Bof, quand on fait de la théorie des nombres, qui parait-il est la reine de l'algèbre on a souvent bien l'impression de faire de l'analyse non ?Ces distinctions métaphysiques ont-elles un sens?
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Pour moi non, les mathématiques sont entremélées au point que je trouve d'autant plus curieux de vouloir les hiérarchiser (de manière objective, après bien entendu on peut exprimer des gouts personnels).
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"Au début on se sent les rois ... Et ça c'est surtout vrai en analyse".Michel Raynaud, au début de cette interview (j'ignorais qu'Yves Roccard l'avait dégoûté de la physique)
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En tant que praticien de base des mathématiques, j'ai du mal à m'inscrire dans ce débat. C'est comme « qui préfères-tu, ton papa ou ta maman ? ». Quand j'étais lycéen, on n'apprenait pas dans le Secondaire ce qui s'appelait alors « algèbre moderne », groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels, matrices. J'avais acheté le livre de Lentin et Rivaud, Éléments d'algèbre moderne, Vuibert 1958, et j'étais vraiment enthousiasmé. Par la suite, il y a eu les « maths-modernes », les groupes dès la Sixième, puis marche arrière toute et groupes nulle part. Et bien sûr, personne n'a reconnu ses erreurs, pourtant énormes.Corrigez-moi si je me trompe, mais il me semble qu'aujourd'hui parmi toutes les prépas, il n'y a qu'en MP-MPI qu'on évoque timidement groupes, anneaux, corps. Comparez avec les Ramis-Deschamps-Odoux, Masson 1980, où il y avait un équilibre entre Algèbre et Analyse. Depuis longtemps en prépas scientifiques, on a pratiqué une sorte de tout-Analyse, j'ignore pourquoi.
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A ce propos, en deuxième année de prépa (MP), j'avais été choqué par la timidité de la partie algèbre du programme par rapport à l'analyse.
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Je suis d'accord avec toi Chaurien, j'ai cru comprendre qu'il y a une certaine disparition de l'algèbre générale en prépa et c'est plus que regrettable. Est-ce pour faire de la place aux probas ?Ce que je trouve marrant dans l'interview du grand Michel Raynaud (au passage un prof que j'ai eu le plaisir d'avoir), c'est le souvenir de ses maths de prépa, sachant dans quoi il se sera brillamment illustré plus tard.Il dit ainsi qu'il découvre les démonstrations en classe préparatoire (en analyse), et visiblement pas avec l'énorme programme de géométrie à l'ancienne de maths élém, et encore en prépa il trouve que la géométrie c'est du flou "on agitait les mains sans rien de sérieux derrière". Il n'évoque même pas l'algèbre.
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Je n'ai pas fait prépa mais j'ai lu dans les rapports de concours le jury se plaindre du faible niveau en algèbre et j'ai été étonné de le constater récemment chez des étudiants alors que j'avais eu l'occasion de traîner à la fac. Cette même université où j'ai fait beaucoup d'algèbre, avec d'ailleurs d'excellents professeurs, dès le DEUG, certains étaient des pointures. Est-ce un effet de mode ?
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Hermite a publié une démonstration « purement algébrique » (l’expression est dans le titre) du théorème fondamental de l’algèbre. Il y a longtemps, le journal de mathématiques spéciales publiait une démonstration de ce théorème. Je ne sais pas si on peut la qualifier de « purement algébrique » mais disons: la « plus algébrique possible » puisqu’elle repose essentiellement sur le calcul d’un déterminant (celui de Sylvester).
(cf. Démonstration du théorème de d’Alembert d’après M. Walecki-journal de mathématiques spéciales). Mais c’est vrai qu’il y a bien plus de démonstrations « purement analytiques ». -
Pour moi, l'exercice 'royal', c'est le calcul d'intégrales, la recherche de primitive. Pas de recette magique, il faut de la prise d'initiative, de la débrouillardise. Comment trouver le bon changement de variable ...
Les compétences requises pour le calcul d'intégrales sont les compétences requises pour le métier d'ingénieur. On ne cherche pas à redémontrer pour la 100° fois un théorème déjà démontré par plein de collègues, on cherche une solution à un problème nouveau.
Les classes prépas étant un vivier de préparation/sélection pour le job d'ingénieur, ça me paraît logique qu'on y fasse beaucoup d'analyse, plutôt que de l'algèbre.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@lourran chacun sa marotte... les taupineries sont parfois bien utiles pour classer et écarter.Je te laisse ta vision du métier de mathématicien. C'est la tienne.Dévisser tous les groupes de petits cardinal n'est pas réputé pour rendre idiot non plus.Notez que moi quand j'étudiais, j'aimais par dessus tout l'analyse fonctionnelle et la topologie (cela tient au fait que je fuis le calcul qui me hait et surtout que je fus enseigné par Anne Duval et Hervé Queffélec). Étonnamment alors que j'étais plutôt pas trop mauvais là dedans cela s'oublie vite quand on ne pratique plus.Les écoles d'ingénieur mettent au programme ce dont elles ont besoin.
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C'est marrant de ce que écris lourran sur le calcul d'intégrales, un collègue prof de spé m'avait dit la même chose presque mot pour mot il y a une quinzaine d'années.
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@hx1,Je te laisse ta vision du métier de mathématicien. C'est la tienne.Merci, trop aimable.
Mais si tu lisais les messages auxquels tu réponds, tu noterais que ne parles absolument pas du métier de mathématicien.
@math2
Les grands esprits se rencontrent.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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