Productos notables

Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos.

Debido a que las vamos a encontrar muy seguido, las llamamos productos notables, porque también, una vez identificado el tipo de producto, podemos decir el resultado de esa operación sin necesidad de realizarla…

La realidad es que la memorizamos para no tener que desarrollar el producto cada vez que la encontremos.

Cada uno de los productos notables tiene su nombre.

Contenido

Los productos notables más comunes son:

(i) $\textcolor{blue}{\text{Binomio al cuadrado (suma)}}\qquad(x+a)^2=x^2+2\,a\,x+a^2$
(ii) $\textcolor{blue}{\text{Binomio al cuadrado (diferencia)}}\qquad(x-a)^2=x^2-2\,a\,x+a^2$
(iii) $\textcolor{blue}{\text{Prod. binomios con t\'ermino com\'un}}\qquad(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)\,x + a\,b$
(iv) $\textcolor{blue}{\text{Producto conjugado}}\qquad(x+a)(x-a)=x^2-a^2$
(v) $\textcolor{blue}{\text{Binomio al cubo}}\qquad(x+a)^3=x^3+3\,a\,x^2+3\,a^2\,x+a^3$

Para entender los productos notables puedes imaginarlos como si se tratara de un molde.

Tú debes realizar lo que el molde dice, de acuerdo a los valores que debes asignar a cada parte del molde.

Ejemplo 1

Calcula: $(2\,m + 7)^2$

Primero identificamos el producto notable con el que vamos a trabajar.
En este caso se trata de un binomio que está elevado al cuadrado, es decir, el producto notable (i).
Es muy sencillo observar que podemos sustituir los valores de acuerdo a la fórmula:

$\begin{equation*} (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a})^2 = (\textcolor{blue}{x})^2+2\,(\textcolor{red}{a})\,(\textcolor{blue}{x})+(\textcolor{red}{a})^2 %\left(\textcolor{blue}{\trianglele}+\textcolor{red}{\square}\right)^2&=&\left(\textcolor{blue}{\trianglele}\right)^2+2\,\left(\textcolor{red}{\square}\right)\left(\textcolor{blue}{\trianglele}\right)+\left(\textcolor{red}{\square}\right)^2 \end{equation*}$

Si sustituimos y luego realizamos los cálculos que quedan indicados, terminamos:

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a})^2 &=& (\textcolor{blue}{x})^2+2\,(\textcolor{red}{a})\,(\textcolor{blue}{x})+(\textcolor{red}{a})^2\\ (\textcolor{blue}{2\,m}+\textcolor{red}{7})^2 &=& (\textcolor{blue}{2\,m})^2+2\,(\textcolor{red}{7})(\textcolor{blue}{2\,m})+(\textcolor{red}{7})^2\\ &=& 4\,m^2 + 28\,m + 49 \end{eqnarray*}$

Esto significa que:

$\begin{equation*} (2\,m+7)^2 = 4\,m^2 + 28\,m + 49 \end{equation*}$

Ejemplo 2

Calcula: $(3\,z - 4)^2$

Sustituimos en la fórmula del producto notable correspondiente:

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{x}-\textcolor{red}{a})^2 &=& (\textcolor{blue}{x})^2-2\,(\textcolor{red}{a})\,(\textcolor{blue}{x})+(\textcolor{red}{a})^2\\ \left(\textcolor{blue}{3\,z^2}-\textcolor{red}{4}\right)^2 &=& \left(\textcolor{blue}{3\,z^2}\right)^2-2\,\left(\textcolor{red}{4}\right)\left(\textcolor{blue}{3\,z^2}\right)+\left(\textcolor{red}{4}\right)^2\\ &=& 9\,z^4-24\,z^2+16 \end{eqnarray*}$

Aunque, también pudimos haberlo calculado con el producto notable (i), considerando: $a = -4$ .

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a})^2&=&(\textcolor{blue}{x})^2+2\,(\textcolor{red}{a})\,(\textcolor{blue}{x})+(\textcolor{red}{a})^2\\ \left(\textcolor{blue}{3\,z^2}+(\textcolor{red}{-4})\right)^2&=&\left(\textcolor{blue} {3\,z^2}\right)^2+2\,\left(\textcolor{red}{-4}\right)\left(\textcolor{blue}{3\,z^2}\right)+\left(\textcolor{red} {-4}\right)^2\\ &=& 9\,z^4-24\,z^2+16 \end{eqnarray*}$

Así, podemos concluir que los productos notables (i) y (ii) son el mismo.

Algunas veces necesitarás elevar un binomio al cuadrado con coeficientes fraccionarios. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.

Ejemplo 3

Calcula: $\left(\displaystyle\frac{1}{2}\,x + 4\,y^2\right)^2$

Empezamos identificando al producto notable que se trata: en este caso, es un binomio al cuadrado.
Ahora aplicamos la fórmula que le corresponde:

$\begin{equation*} \left(\textcolor{blue}{\displaystyle\frac{1}{2}\,x}+\textcolor{red}{4\,y^2}\right)^2 = \left(\textcolor{blue}{\displaystyle\frac{1}{2}\,x}\right)^2 + 2\,\left(\textcolor{blue}{\displaystyle\frac{1}{2}\,x}\right)\cdot (\textcolor{red}{4\,y^2}) + \left(\textcolor{red}{4\,y^2}\right)^2 \end{equation*}$

Ahora simplemente realizamos las operaciones que quedaron indicadas:

$\begin{equation*} \left(\displaystyle\frac{1}{2}\,x\right)^2 + 2\,\left(\displaystyle\frac{1}{2}\,x\right)\cdot \left(4\,y^2\right) + \left(4\,y^2\right)^2 = \displaystyle\frac{1}{4}\,x^2 + 4\,x\,y^2 + 16\,y^4 \end{equation*}$

Observa que hemos aplicado leyes de los exponentes.

Ahora estudiaremos el caso del producto de dos binomios con un término común. Empezamos con un ejemplo muy sencillo.

Ejemplo 4

Calcula: $(x + 5)(x - 7)$

Ahora tenemos que utilizar el producto notable:

$\begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)\,x+a\,b \end{equation*}$

En este caso, $a=5$ , y $b=-7$ .

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a})(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{cyan}{b})&=&\textcolor{blue}{x}^2+(\textcolor{red}{a}+\textcolor{cyan}{b})\,\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a}\,\textcolor{cyan}{b}\\ (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{5})(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{cyan}{7})&=&\textcolor{blue}{x}^2+(\textcolor{red}{5}+(\textcolor{cyan}{-7}))\,\textcolor{blue}{x}+(\textcolor{red}{5})(\textcolor{cyan}{-7})\\ &=& x^2-2\,x-35 \end{eqnarray*}$

En conclusión,

$\begin{equation*} (x+5)(x-7)=x^2-2\,x-35 \end{equation*}$

Algunas veces, además de aplicar el producto notable que le corresponde a la operación que estamos desarrollando debemos aplicar las leyes de los exponentes.

Ejemplo 5

Calcula: $(x^3 + 1)(x^3 + 5)$

Este producto también requiere del uso de la fórmula:

$\begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)\,x+a\,b \end{equation*}$

Pero en este caso requiere además de la aplicación de las leyes de los exponentes:

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{red}{x^3}+\textcolor{blue}{1})(\textcolor{red}{x^3}+\textcolor{cyan}{5})&=& \left(\textcolor{red}{x^3}\right)^2 + (\textcolor{blue}{1} + \textcolor{cyan}{5})\cdot \textcolor{red}{x^3} + \textcolor{blue}{1}\cdot\textcolor{cyan}{5}\\ &=& x^6 + 6\,x^3 + 5 \end{eqnarray*}$

Observa que cuando sustituimos en la fórmula los términos del ejercicio, nos queda en el primer término: $\left(\textcolor{red}{x^3}\right)^2$ , lo cual nos exige la aplicación de las leyes de los exponentes.

También debes tener cuidado cuando tengas un coeficiente en alguno de los términos, porque muchas veces se omite multiplicar por él.

Ejemplo 6

Calcula: $(2\,x + 11)(2\,x - 13)$

Aplicamos directamente los términos a la fórmula:

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{2\,x}+\textcolor{red}{11})(\textcolor{blue}{2\,x}-\textcolor{cyan}{13}) &=& (\textcolor{blue}{2\,x})^2 + (\textcolor{red}{11}\textcolor{cyan}{-13})\cdot(\textcolor{blue}{2\,x}) + (\textcolor{red}{11})\cdot(\textcolor{cyan}{-13})\\ &=& 4\,x^2 + (-2)\cdot(2\,x) - 143\\ &=& 4\,x^2 - 4\,x - 143 \end{eqnarray*}$

Observa que hemos aplicado las leyes de los signos cuando multiplicamos $(11)\cdot(-13)$ .
También es importante notar que al sumar $11-13$ obtenemos un número negativo, porque el mayor de los sumandos es menor a cero.

En este último caso no se han aplicado las leyes de los signos.
Por ejemplo, la suma: $13 - 11 = 2$ . Un número positivo, a pesar de que un sumando es positivo y otro es negativo.

Cuando aplicamos las leyes de los signos generalmente decimos menos por más, o menos por menos.
No aplicamos las leyes de los signos porque no estamos multiplicando o dividiendo; estamos sumando números.

Observa, siempre utilizamos la palabra por entre los dos signos. Esto indica que estamos multiplicando los signos. Por eso no podemos utilizarlos cuando estamos sumando. Solamente para la multiplicación o para la división.

Seguramente ahora tendrás la pregunta: ¿por qué para la división también, si no estamos diciendo menos entre mas?

Recuerda que dividir es igual a multiplicar por el recíproco. Por ejemplo, dividir por 2 es igual que multiplicar por el recíproco de 2, es decir, es igual que multiplicar por 1/2.

Podemos justificar el uso de las leyes de los signos en la división si observamos que las operaciones de multiplicación y división son contrarias basados en las leyes de los signos mismas.

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Aprenderás a desarrollar los casos más comúnes de productos notables.