頻寬是甚麼: 0.35/Tr、0.5/Tr?

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伊伊威爾斯

Apr 28, 2024

以前剛接觸射頻相關領域時，對於頻寬的認知相當單純，尤其是天線設計。記得以前A前輩交代工作都會說:「客戶要求這組WIFI 5G的天線頻寬要包到Band 1歐」對於我的認知就5.15- 5.25 GHz，這個範圍。

但在我初入SI/PI領域，B前輩跟我說：「你模擬信號的Model頻寬要抽高一點，不然打20ps的TDR會有問題歐，用0.35/Tr算一下」。當時的心情如圖，想說你在說甚麼? 打破了我對頻寬的認知，開始感到困惑，更遑論甚麼上升時間?0.35? (主要原因就是大學太混了，沒念書 😅)

方波、梯形波訊號

首先我們得認識在晶片上所傳輸的訊號，會這麼困惑主要是被我的背景知識所限制，把訊號定義都是從弦波思考，屬於窄頻的訊號。但到了0101的數位訊號，都是以方波在看世界的，是屬於寬頻的訊號。所以對於方波要有所認識。簡單來說方波就是由多次的諧波(弦波)訊號所組成的。方波包含越高次數的諧波訊號，方波就越理想，上升時間就越快。我們常說的10GHz訊號，就是以1次諧波為10GHz的訊號成份向上下展開所組成的，詳細可以參閱維基百科方波。

但在實際的電路上，產生出來的數位訊號上升時間不可能為0，所以可以說數位訊號更接近梯形波的表示方式，如下圖。訊號開始(結束)時會走一段Tr(Tf) = m(p)的時間，也就是說實際的數位訊號不可能是理想方波，頻寬無限大，都是有限頻寬的梯形波訊號。

信號頻寬

訊號的頻寬?甚麼意思呢? 我們可以將梯形波訊號做FFT得到頻譜，然後將各頻點的強度連成一條線俗稱包絡線，就可以清楚看到。梯形波的高頻成份的諧波能量會從1/πτ呈現-20dB/10倍頻的衰減，到1/πTr就會-40dB/10倍頻的衰減。說到這裡就可以跟0.35/Tr串起來了，這個經驗公式的物理意義就是梯形波信號-40dB/10倍頻轉點的頻寬，我們可以取到1/πTr這個頻點0.318/Tr，其頻點之後的能量很小佔梯形波的能量成份很少，所以經驗公式0.35/Tr其頻點較0.318/Tr更寬一點。

你可能會想:「不對啊，0.35跟0.318接近是接近，但你這個說法我覺得毛毛的。往後取更寬的頻寬?阿是多寬?怎麼不取0.32或0.33?還比較接近!」

為何是B.W. = 0.35/Tr ?

這個概念主要是來自於一階的RC低通濾波器等校電路的RC充放電。複習一下基本電學RC充電公式Vb=Va(1-e(-t/RC))，其中的RC就是電路中的時間常數τ。

然而一般電路的充電與放電的斜率並非線性的，故我們常提到的上升時間會取10%~90%的時間斜率比較線性的那一段(眼圖通常定義是20%~80%)。故我們可以定義兩個方程式分別是10%與90%的充電電壓。利用兩式把Tr求出來

0.1Va=Va(1-e(-t/RC)) ==> T(10%)=(-ln0.1)RC

0.9Va=Va(1-e(-t/RC)) ==>T(90%)=(-ln0.9)RC

Tr = T(90%)-T(10%) =2.1972RC

到這裡我們就可以回過頭去看濾波器電路，回想一下電路學。一階濾波器的函式 [6]

H(f)=1/(1+j2πfRC)

取幅值｜H(f)｜=1/[(1+j2πfRC)^2]^-2

看到這裡一定會想說那跟0.35有什麼關係? 其實跟-3dB點有關，也就是我們熟知的膝點頻率的那個點，當放大器到達麼點頻率，能量衰減至70%的幅值這個頻點(-3 dB)，那基本上就是這個電路的最大極限了。回過頭來到濾波電路。

也就是幅值｜H(f)｜= 1/(2)^-2 = 1/[(1+j2πfRC)²]^-2

得到j2πfRC = 1 又RC=Tr/2.1972 代進式子理

最後f=0.35/Tr，這個f就是-3dB的頻寬f(3dB)!

原來阿!B前輩叫我算的訊號頻寬是-3dB衰減的那點的頻率寬度! (有興趣可以參考文獻[8])

那0.5/Tr呢?

這個就很玄了!0.5/Tr的頻寬眾說紛紜，有一種論點是說0.5/Tr與等效噪聲帶寬(均方根帶寬)接近。意思是定義是指"頻率響應振幅平方對頻率的積分與最大頻率響應振幅平方的比值"，如下: [7]

白話就是把梯形波的頻譜包絡線求它的有效值，可以用下圖解釋一下。我們所求的fRMS就是將紅色標記的區塊填補到波峰的兩側。就可以得到更完整的諧波所組成的梯型波。

直接跳到結論，

也就是說，我們常說的0.5/Tr的頻寬更接近等效噪聲頻寬0.55/Tr，文獻中[7]有推導的過程，有興趣可以參考。

另外一總說法是0.5/Tr是在訊號能量衰減至-6.6dB(~=50%衰減)的那個頻點。

結論

看到這裡心裡可能會想說，那我要用哪種算法，做為我訊號的頻寬呢?0.35?0.5?其實這個問題取決於你的用途。也就是說如果我是需要量測那可能基本上為會選擇0.35/Tr頻寬的TDR或示波器。我想要模擬Chip上的訊號行經通道的行為，會想嚴謹一點就去抽0.5/Tr頻寬。

有些人可能會想說:「欸~不是阿，我學長都叫我抽五倍頻寬啊!」確實因為很多時候我們無法直接取得晶片的上升時間，所以我們通常會做一些假設。像是假設上升時間為0.07(1/f0)，其中f0為訊號的奈奎斯特頻率。事實上抽5倍頻就是抽0.35/Tr的頻寬。今天提到的是屬於訊號的帶寬，那通道的帶寬?這個就稍微複雜了一些 😆

最後結論是不管用那種頻寬作為訊號分析的頻寬都可以，重要的是要能辨識哪種頻率成份的能量是設計所需要的或是不在意的。

以前父母常說：「不想要有壞心情，心就要放寬一點。」那是不是"不想要有壞的設計，那訊號頻寬就抽(看)寬(高)一點？"

老闆表示🧓:「要100G的網儀???沒錢!!」