Propiedades de los límites: Definición, funciones y ejemplos

Límites de una función:

Antes del estudio del cálculo, las matemáticas analizaban cómo se comportaba la relación de la función cuando el valor de entrada era igual a un número constante. En cálculo, este análisis de comportamiento se amplía analizando cómo se comporta la función cuando la entrada se aproxima al mismo valor constante en ambos lados de la gráfica. Esto se hace tomando valores de ambos lados que se acercan cada vez más al valor constante, sin tener que usar el valor constante dado. A esto se le llama tomar el límite de una función. El límite de una función se define mediante la siguiente notación:

$$\displaystyle \lim_{ x\to a}f(x)=L $$

Esto se lee como “el límite de la función cuando x tiende a a”. Dicho esto, los límites tratan de lo que sucede alrededor del valor de a, en lugar de lo que sucede en el valor de a. Es importante analizar y familiarizarse con el concepto de límites porque muchos de los conceptos en el estudio del cálculo y otras ramas científicas de estudio utilizan el límite de una función para analizar comportamientos alrededor de ciertos fenómenos, por ejemplo, más adelante en cálculo, el Surgirá el tema de la continuidad y utiliza el límite de funciones y sus diferentes variaciones (límites unilaterales) para determinar la continuidad de una función en un determinado valor. A continuación se muestra un ejemplo de cómo funcionan los límites y cómo se muestran en el gráfico:

Ejemplo 1: {eq}\displaystyle \lim_{ x\to 1}(2x^2-4) {/eq}

Volviendo al concepto de álgebra y precálculo, estas disciplinas se ocupan únicamente del hecho de que {eq}f(1)=2(1)^2-4=-2 {/eq}. Además, es un hecho irrefutable que el valor de la función cuando la entrada es igual a 1 es -2. En cálculo, es importante observar cómo se comporta la gráfica alrededor del valor de {eq}x=1 {/eq} sin ser nunca igual a 1. Así es como se ve en la gráfica:

Acercándose al valor de x por el lado izquierdo del punto se obtendrán los siguientes valores:

$$f(0) = -4 \\ f(0.5) = -3.5 \\ f(0.9)=-2.38 \\ f(0.99)=-2.0398 \\ f(0.999)=-2.003998 \\ f(0.9999 )=-2.00039998 \\ f(0.99999) = -2.0000399998 $$

A medida que x se acerca a 1 por el lado izquierdo, los valores de f(x) se acercan progresivamente al valor f(1) sin tocarlo. Si se acerca el valor de x’ al lado derecho del punto se obtendrán los siguientes valores.

$$f(2) = 4 \\ f(1.5) = 0.5 \\ f(1.1)=-1.8 \\ f(1.01)=-1.9598 \\ f(1.001)=-1.995998 \\ f(1.0001)= -1,99959998 \\ f(1,00001) = -1,9999599998 $$

A medida que x se aproxima a f(x) por la derecha, los valores de f(x) también se acercan cada vez más a -2. Por lo tanto,

$$\displaystyle \lim_{ x\to 1}(2x^2-4) = -2 $$

Propiedades de los límites:

Como cualquier otro grupo de cálculo y relación matemática, los límites tienen una serie de propiedades que pueden ayudar en el cálculo de los límites de funciones. Las propiedades de los límites que se muestran a continuación se basan más en la definición de qué es un límite y siempre son ciertas.

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to a} c = c & (1) \\ \displaystyle \lim_{x\to a} x = a & (2) \end{matrix} $$

La propiedad 1 simplemente establece que el límite de una constante cuando x se acerca a a es la constante misma. La propiedad n.° 2 establece que el límite de x cuando se acerca a a es igual a a.

Suma de funciones:

La fórmula para el límite de una suma de funciones es la siguiente.

$$\displaystyle \lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]=\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) + \displaystyle \lim_{x\to a} g (x) $$

Para probar la suma de la propiedad de los límites, establecer información adicional sobre la identidad de los límites ayudará a establecer la prueba. Sean {eq}\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = K {/eq} y {eq}\displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = L {/eq}. Esto será recurrente a medida que repasemos cada propiedad de los límites.

Ejemplo 2: {eq}\displaystyle \lim_{x\to 3}(x^3-4x) {/eq}

Solución:

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to 3}(x^3-4x) & =\displaystyle \lim_{x\to 3}x^3-\displaystyle \lim_{x\to 3} 4x \\ &= \displaystyle \lim_{x\to 3}x^3-4\displaystyle \lim_{x\to 3}x \\ & = 3^3-4(3) \\ & = 27-12 \\ & = 15 \end{matriz} $$

Ejemplo 3: {eq}\displaystyle \lim_{x\to -1}x^2-3x+5 {/eq}

Solución:

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to -1}x^2-3x+5 & = \displaystyle \lim_{x\to -1}x^2-\displaystyle \lim_{x\to -1}3x+\displaystyle \lim_{x\to -1}5 \\ & =\displaystyle \lim_{x\to -1}x^2-3\displaystyle \lim_{x\to -1}x+\displaystyle \lim_{x\to -1}5 \\ & =(-1)^2-3(-1)+5 \\ & =1+3+5 \\ & =9 \end{matrix} $$

Diferencia de funciones

Los límites de las diferencias de propiedades de funciones se prueban de manera similar al límite de sumas de funciones, y todas las demás propiedades seguirán su ejemplo; sin embargo, para mantener la simplicidad aquí es como se realiza la prueba. Necesitamos demostrar que {eq}\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=KL {/eq}. Usando las propiedades basadas en definiciones y los hechos de que {eq}\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = K {/eq} y {eq}\displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = L {/eq} tenemos la siguiente prueba:

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)-g(x)] & =\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)+(-1) g(x)] \\ & =\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)+\displaystyle \lim_{x\to a}(-1)g(x) \\ & =\displaystyle \lim_ {x\to a}f(x)+(-1)\displaystyle \lim_{x\to a}g(x) \\ & =K+(-1)L \\ & = KL \end{matrix} $ $

Ejemplo 4: {eq}\displaystyle \lim_{x\to -2}(5x-3) {/eq}

Solución:

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to -2}(5x-3) & =\displaystyle \lim_{x\to -2}(5x)-\displaystyle \lim_{x\to -2 }3 \\ & =5\displaystyle \lim_{x\to -2}x-\displaystyle \lim_{x\to -2}3 \\ & =5(-2)-3 \\ & =-10- 3 \\ & = -13 \end{matriz} $$

Producto de funciones

El límite de un producto de funciones es el producto del límite de cada factor individual. Para probar esto, debemos asumir que la siguiente ecuación es verdadera (usando razonamiento y habilidades avanzadas de cálculo se puede probar):{eq}\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)-K][g(x )-L]=0 {/eq}. Las letras mayúsculas K y L se mostraron en las pruebas anteriores, pero ¿por qué debemos preocuparnos por una identidad tan larga y compleja? Queremos demostrar que {eq}\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LK {/eq}La respuesta está en la aplicación del método FOIL para el producto de {eq }[f(x)-K][g(x)-L] {/eq}:

$$[f(x)-K][g(x)-L]=f(x)g(x)-Lf(x)-Kg(x)+KL \\ f(x)g(x)= [f(x)-K][g(x)-L]+Lf(x)+Kg(x)-KL $$

Luego encontramos el límite del producto.

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)g(x)] & = \displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)-K][g( x)-L]+Lf(x)+Kg(x)-KL \\ & = \displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)-K][g(x)-L]+\displaystyle \lim_{x\to a}Lf(x)+\displaystyle \lim_{x\to a}Kg(x)-\displaystyle \lim_{x\to a}KL \\ & =0+LK+KL-KL \\ & = LK \end{matriz} $$

Ejemplo 5: {eq}\displaystyle \lim_{x\to -2} 6x^3 {/eq}

Solución:

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to -2}6x^3 & =(\displaystyle \lim_{x\to -2}6)(\displaystyle \lim_{x\to -2}x ^3) \\ & =6(-2)^3 \\ & =6(-8) \\ & =24 \end{matriz} $$

Cociente de funciones:

La fórmula para el límite del cociente de funciones es la siguiente:

$$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim_ {x\a a}g(x)}\;para\;g(x)\neq0 $$

Al igual que con las tres operaciones anteriores, calculando el límite tanto del dividendo como del divisor se puede encontrar el límite de un cociente de funciones. Por supuesto, esto sólo puede aceptarse si el denominador no arroja un valor cero.

Prueba:

Asumir primero que lo siguiente es cierto puede ayudarnos con nuestra demostración: {eq}\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{L} {/eq }. Nuevamente, utilizando técnicas de cálculo complejas se puede demostrar que es cierto. Esto significa que:

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} & =\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)\frac{ 1}{g(x)} \\ & =\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{1}{g(x)} \\ & =K(\frac{1}{L}) \\ & = \frac{K}{L} \end{matrix} $$

Al calcular los límites de un cociente de funciones, es fundamental verificar para qué valores la función no está definida. Si hay valores para los cuales la función no está definida, y es el valor al que se acerca el límite de la función, simplificarlo puede ser útil.

Ejemplo 6: {eq}\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^2}{x^2-4} {/eq}

Solución:

$$\begin{matrix} \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^2}{x^2-4} & =\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{ (x-2)(x-2}{(x-2)(x+2)} \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)}{x+2} \\ & =\frac{\displaystyle \lim_{x\to 2}(x-2)}{\displaystyle \lim_{x\to 2}(x+2)} \\ & =\frac{2-2 }{2+2} \\ & =\frac{0}{4} \end{matrix} $$

Multiplicación constante de. Una función

El límite de un producto entre una función y una constante (también conocido como multiplicación escalar) se muestra a continuación:

$$\displaystyle \lim_{x\to a}cf(x)=c\displaystyle \lim{x\to a}f(x) $$

Esto significa que el límite del producto entre una constante y una función es la constante multiplicada por el límite de la función dada. Asignar la función {eq}g(x)=c {/eq} y usar la propiedad de los productos de límites de funciones simplificará esta prueba:

$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x) = \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \displaystyle \lim_{x\to a}g(x) = L\bala c = cL $$

Ejemplo 7: {eq}\displaystyle \lim_{x\to 3} 3x {/eq}

Solución:

$$\displaystyle \lim_{x\to 3}3x = 3\displaystyle \lim_{x\to 3}x = 3(3) = 9 $$

Poder de las funciones

El límite de una potencia de una función se muestra a continuación:

$$\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)]^n = {[\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)]}^n $$

A continuación se muestra una prueba de la propiedad:

Ejemplo 8: {eq}\displaystyle \lim_{x\to 4} x^3 {/eq}

Solución:

$$\displaystyle \lim_{x\to 4} x^3 = {(\displaystyle \lim_{x\to 4}x)}^3 = 4^3 = 64 $$

Resumen de la lección:

Al comprender los límites de las funciones en cálculo, el límite de una función es el valor al que se acerca la función cuando el valor de entrada se mueve desde la izquierda o la derecha. En cálculo, los límites de funciones tratan de lo que sucede alrededor del punto establecido, no en el punto. Comúnmente se encuentra evaluando la función para el valor indicado de a. En algunas funciones, se requiere cierta simplificación. Los límites de las funciones también disfrutan de una serie de propiedades que implican la multiplicación, la suma, la resta, la división, las potencias e incluso la multiplicación escalar. Las propiedades de los límites con respecto a funciones se pueden probar estableciendo o asumiendo que existen los límites de ambas funciones y utilizando conceptos matemáticos avanzados en cálculo para desarrollar esas pruebas.