Proprietà delle potenze
Le proprietà delle potenze sono le seguenti: 1) prodotto di potenze con la stessa base; 2) quoziente di potenze con la stessa base; 3) potenza di una potenza; 4) prodotto di potenze con lo stesso esponente; 5) quoziente di potenze con lo stesso esponente.
Le proprietà delle potenze permettono di semplificare i calcoli che coinvolgono le potenze e accompagnano gli studenti nel corso della loro intera carriera scolastica. Per rendere l'idea, servono a calcolare il valore delle espressioni numeriche e letterali, per risolvere equazioni, disequazioni... Insomma: sono molto importanti e vanno ricordate.
Questa lezione si rivolge agli studenti delle Scuole Medie e, più in generale, a chiunque voglia fare un ripasso. Posto che le regole valgono indipendentemente dall'insieme numerico in cui si lavora, per semplicità vedremo esempi con i numeri naturali.
Per ciascuna regola proporremo approfondimenti con esempi aggiuntivi e le dimostrazioni delle proprietà delle potenze.
Indice
- Elenco delle proprietà delle potenze
- Prodotto di potenze con la stessa base
- Quoziente di potenze con la stessa base
- Potenze di potenze
- Prodotto di potenze con lo stesso esponente
- Quoziente di potenze con lo stesso esponente
- Somma o differenza di potenze
Proprietà delle potenze e operazioni algebriche
Cominciamo con la tabella con tutte le proprietà delle potenze, così da agevolare chi sta leggendo per ripassare. Poco più sotto commentiamo nel dettaglio le varie proprietà e proponiamo alcuni di esempi.
| Proprietà delle potenze | Formula |
|---|---|
| 1) Prodotto di potenze con la stessa base | a^m×a^n = a^(m+n) |
| 2) Quoziente di potenze con la stessa base | a^m : a^n = a^(m−n) |
| 3) Potenza di potenza | (a^m)^n = a^(m×n) |
| 4) Prodotto di potenze con lo stesso esponente | a^n×b^n = (a×b)^n |
| 5) Quoziente di potenze con lo stesso esponente | a^n : b^n = (a : b)^n |
| 6) Somma o differenza di potenze | In generale nulla |
1) Prodotto di potenze con la stessa base
Il prodotto di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
a^m×a^n = a^(m+n)
Cosa succede se abbiamo un prodotto con più di due potenze aventi la stessa base? In tal caso è sufficiente applicare la regola a tutte le potenze coinvolte nella moltiplicazione.
a^m×a^n×a^p = a^(m+n+p)
Vediamo qualche esempio con i numeri:
2^2×2^3 = 2^(2+3) = 2^5 = 32 ; 3^3×3^3 = 3^(3+3) = 3^6 = 729 ; 2^2×2^3×2^6 = 2^(2+3+6) = 2^(11) = 2048
Per vedere altri esempi svolti sul prodotto di due potenze e la dimostrazione della regola potete leggere il relativo approfondimento.
2) Quoziente di potenze con la stessa base
Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.
a^m:a^n = a^(m−n)
In modo equivalente possiamo esprimere la formula mediante rapporti:
(a^m)/(a^n) = a^(m−n)
Alcuni esempi con i numeri:
2^5:2^3 = 2^(5−3) = 2^(2) = 4 ; 3^5:3^2 = 3^(5−2) = 3^3 = 27 ; 4^(12):4^8 = 4^(12−8) = 4^4 = 256
Per vedere altri esempi sulla regola per il quoziente di due potenze - click!
Come ricavare la regola del quoziente da quella del prodotto
È possibile dedurre la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base da quella del prodotto di potenze con la stessa base, e capire come fare vi permetterà di memorizzare solo una proprietà invece di due. Per riuscirci, però, è necessario aver già studiato le potenze con esponente negativo.
Per ricavare la proprietà delle potenze numero 2) a partire dalla 1) esprimiamo il quoziente come prodotto:
a^m:a^n = a^(m)×(1)/(a^n) =
A questo punto ricordiamoci del significato del segno meno all'esponente e applichiamo la regola 1).
= a^m×a^(−n) = a^(m+(−n)) = a^(m−n)
3) Potenze di potenze
La potenza di una potenza è a sua volta una potenza, avente come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.
(a^m)^n = a^(m×n)
Anche se sembra uno scioglilingua, una potenza di potenza non è niente di complicato: è l'elevamento a potenza di una potenza. In simboli è molto più chiaro: (a^m)^n.
Qualche esempio:
(2^2)^3 = 2^(2×3) = 2^6 = 64 ; (3^2)^4 = 3^(2×4) = 3^8 = 6561 ; (5^2)^2 = 5^(2×2) = 5^4 = 625
Se vi interessano altri esempi sulla proprietà per le potenze di potenze e la dimostrazione, vi rimandiamo al relativo approfondimento.
Come ricavare la regola delle potenze di potenze da quella del prodotto
Perché vale questa proprietà? Anche qui, se riuscite a capirlo non dovrete impararla a memoria.
In base alla definizione, calcolare una potenza significa moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto indicato dall'esponente. In questo caso otteniamo:
(a^m)^n = a^m×a^m×...×a^m (n volte) =
Non ci resta che applicare la regola per il prodotto di potenze con la stessa base: manteniamo la stessa base e scriviamo come esponente la somma degli esponenti:
= a^(m+m+...+m (n volte)) =
D'altronde sommare un numero m con se stesso n volte vuol dire moltiplicare m per n:
= a^(m×n)
4) Prodotto di potenze con lo stesso esponente
Il prodotto di potenze con esponenti uguali è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente.
a^n×b^n = (a×b)^n
Questa proprietà si estende senza problemi al caso di prodotto di più di due potenze con basi diverse e esponenti uguali:
a^n×b^n×c^n = (a×b×c)^n
Anche qui vediamo alcuni di esempi numerici:
2^3×3^3 = (2×3)^3 = 6^3 = 216 ; 5^2×12^2 = (5×12)^2 = 60^2 = 3600 ; 3^2×2^2×5^2 = (3×2×5)^2 = 30^2 = 900
Per ulteriori esempi e per la dimostrazione vi rimandiamo alla pagina dedicata alle prodotto di potenze.
5) Quoziente di potenze con lo stesso esponente
Il quoziente di potenze con esponenti uguali è una potenza che ha come base il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente.
a^n:b^n = (a:b)^n
La stessa regola può essere scritta sotto forma di rapporti:
(a^n)/(b^n) = ((a)/(b))^n
Vediamo alcuni esempi numerici:
9^3:3^3 = (9:3)^3 = 3^3 = 27 ; 18^4:6^4 = (18:6)^4 = 3^4 = 81 ; 48^3:12^3 = (48:12)^3 = 4^3 = 64
Per altri esempi sulla proprietà appena vista e per la relativa dimostrazione: quoziente di due potenze.
6) Somma o differenza di potenze
C'è qualche proprietà relativa alla somma di potenze e alla differenza di potenze? No, in generale non possiamo dire nulla, e non c'è nessuna proprietà a riguardo. Per saperne di più vi rimandiamo all'approfondimento sulla somma di due potenze.
Abbiamo finito. Tenete presente che l'argomento appena trattato è fondamentale nella risoluzione degli esercizi: le proprietà delle potenze vengono ampiamente utilizzate a partire dalla risoluzione delle espressioni con potenze, che studieremo nel prosieguo delle lezioni.
Prima però vi raccomandiamo di allenarvi con gli esercizi sulle proprietà delle potenze delle schede correlate (sono divisi per livelli di difficoltà), ed eventualmente di aiutarvi con il tool per calcolare le potenze online. ;)
Namasté, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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