PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO – Formulas y Ejercicios

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Puntos Notables en un Triángulo puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Cuáles son los Puntos Notables de un Triángulo?

Estos son algunos puntos notables que posee un triangulo:

Cevacentro:

Es el punto de intersección de tres cevianas cualesquiera. También se le denomina Punto Ceviano.

Observación:

Todo triángulo tiene infinitos cevacentros. Esto nos lleva a concluir que el cevacentro no es un punto notable.

Baricentro:

Es el punto de intersección de las medianas de un triángulo. También se le denomina centroide, centro de gravedad ó gravicentro.

Características:

1.- El baricentro siempre es un punto interior a todo triángulo.
2.- Todo triángulo tiene un solo baricentro.
3.- El baricentro divide a la mediana en dos segmentos cuyas longitudes están en la relación de 2 a 1, siendo el mayor el adyacente al vértice.

Ortocentro:

Es el punto de intersección de las alturas de un triángulo.

Incentro:

Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de un triángulo.

Características:

1.- El incentro siempre es un punto interior a todo triángulo.
2.- Todo triángulo tiene un solo incentro.
3.- El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
4.- El incentro equidista de los lados del triángulo.

Excentro:

Es el punto de intersección de dos bisectrices exteriores y de la bisectriz interior del tercer ángulo.

Características:

1.- El excentro siempre es un punto exterior a todo triángulo.
2.- Todo triángulo tiene tres excentros.
3.- El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo.
4.- El excentro equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados del triángulo.

Observación:

Si un triángulo tiene tres excentros, entonces tendrá tres circunferencias exinscritas y tres exradios.

Circuncentro:

Es el punto de intersección de las mediatrices (coplanares) de los lados de un triángulo.

Características:

1.- Todo triángulo tiene un solo circuncentro.
2.- El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
3.- El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

Observaciones:

Para el caso de un triángulo isósceles se tiene que la altura relativa a la base también será las otras líneas notables.

En un triángulo equilátero el punto de intersección de las alturas también será los demás puntos notables de dicho triángulo.

Triángulo Mediano

Llamado también triángulo complementario. Es aquel triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo al cual se le denomina triángulo anticomplementario.

Propiedades:

1.- El Baricentro del triángulo anticomplementario es también el Baricentro del triángulo mediano.

2.- El circuncentro del triángulo mediano viene a ser el circuncentro del triángulo anticomplementario.

Δ PQR es el Triangulo Mediano del Δ ABC.

Δ ABC es el Triangulo Anticomplementario del Δ PQR.

G: Baricentro del Triángulo ABC
G: Baricentro del Triángulo PQR
O: Circuncentro del Triángulo ABC
O: Ortocentro del Triángulo PQR

Triángulo Órtico

Llamado también triángulo pedal. Si en un triángulo acutángulo se unen los pies de las alturas, se determina el triángulo órtico mientras que al triángulo acutángulo dado se le llamará triángulo antiórtico.

Propiedades:

1.- El Ortocentro del triángulo antiórtico es el Incentro del triángulo Pedal.

2.- Cada vértice del triángulo antiórtico es el Excentro del triángulo Pedal.

3.- Las distancias de los vértices del triángulo antiórtico a los lados del triángulo Pedal, son los exradios de éste.

Δ PQR es el Triangulo Pedal del Δ ABC.

Δ PQR es el Triangulo Órtico del Δ ABC.

Δ ABC es el Triangulo Antiórtico del Δ PQR.

H: Ortocentro del Triángulo ABC.
H: Incentro del triángulo PQR
A, B y C: Excentros del triángulo PQR.

Triángulo Exincentral

Llamado también triángulo de los excentros. Es el triángulo cuyos vértices son los excentros de un triángulo al cual se le denomina triángulo órtico.

Propiedades:

1.- Todo triángulo tiene triángulo exincentral.

2.- El incentro del triángulo órtico viene a ser el ortocentro del triángulo exincentral.

Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, baricentro y circuncentro pertenecen a una recta llamada Recta de Euler.

A partir de esta condición se puede demostrar los siguientes Teoremas:

1.- En todo Δ NO EQUILÁTERO, la distancia del ortocentro (H) al Baricentro (G) es el doble de la distancia del Baricentro al Circuncentro (O).

2.- En todo Δ NO RECTÁNGULO, la distancia del Ortocentro (H) a un vértice es el doble de la distancia del Circuncentro (O) al lado opuesto al vértice mencionado.

Propiedades:

1.- Si m∡ABC=60, H es el ortocentro y O es el circuncentro del Δ ABC, se cumplirá los siguientes teoremas:

2.- Para todo triángulo, la Recta de Euler es también la Recta de Euler de su respectivo triángulo mediano.

Si Δ PQR es el Triángulo Mediano del Δ ABC y L es la Recta de Euler del Δ ABC, entonces se cumplirá:

Observaciones:

– En todo triángulo isósceles se cumple que el circuncentro, baricentro, incentro, ortocentro y el excentro relativo a la base se encuentran contenidos en la Recta de Euler.

– Todo triángulo equilátero tiene infinitas Rectas de Euler.

Rectas Isogonales

Dos rectas que pasan por el vértice de un ángulo, son rectas conjugadas isogonales o simplemente ISOGONALES con respecto a este ángulo, si dichas rectas forman con los lados del ángulo, ángulos congruentes.

En la figura:

Teorema 01:

H: Ortocentro del Triángulo ABC
O: Circuncentro del Triángulo ABC

Teorema 02:

O: Circuncentro del Triángulo ABC

Ejemplos de Puntos Notables de un Triángulo

Ejemplo 01:

En un triángulo acutángulo ABC, H es el ortocentro y O el circuncentro. Hallar la m∡HBO si m∡A-m∡C=28.

Solución:

– Dato: α – θ =28°… (I)

– Si

– Por propiedad de ortocentro y circuncentro:

– En el Δ BPC:

– De (I) y (II):

Ejemplo 02:

En un triángulo rectángulo, las medidas de los ángulos se diferencian en 20º. Si H es el ortocentro, I es el incentro y O es el circuncentro de dicho triángulo, hallar la

Solución:

– Recordemos que en un triángulo rectángulo, el ortocentro se ubica en el vértice del ángulo recto, mientras que el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.

– Por dato:

m∡A – m∡C=20 … (I)

– De la figura:

m∡A + m∡C=90 … (II)

– De (I) y (II):

m ∡ C=35

– Como el circuncentro equidista de los vértices, del triángulo, el Δ HOC será isósceles.

– Luego:

– Finalmente:

Ejemplo 03:

En un triángulo acutángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubican el ortocentro, baricentro y circuncentro. Si la altura BQ=24 y la distancia del ortocentro a la base del triángulo es 2. Hallar la distancia del baricentro al circuncentro.

Solución:

– Si OG=x, por el Teorema de Euler:

GH=2x

– Por el Teorema del Baricentro:

Si BQ=24 ⇒ BG=16 y GQ=8

– De la figura:

Ejemplo 04:

Si O es circuncentro y ortocentro de PBC y ABC respectivamente, calcular “x”

Solución:

– Como O es ortocentro del Δ ABC, entonces:

– Como O es circuncentro del Δ PBC, dicho punto equidistará de los vértices del triángulo:

– Por propiedad fundamental del circuncentro:

– En el Δ BPO:

Ejercicios de Puntos Notables de un Triángulo

En esta sección te compartiremos varios problemas de puntos notables de un triángulo resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Puntos Notables de un Triángulo

Aquí te compartiremos un documento que contiene 08 problemas resueltos de puntos notables en un triángulo, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Puntos Notables de un Triángulo

Aquí te compartiremos un documento que contiene 35 problemas de puntos notables en un triángulo, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

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Los Triángulos para Primaria

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Los Triángulos para Secundaria

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Fichas para Primer Grado de Secundaria

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Fichas para Segundo Grado de Secundaria

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Fichas para Tercer Grado de Secundaria

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Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

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Fichas para Quinto Grado de Secundaria

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