Error relativo

¿Qué es el error relativo?

El error relativo de una medida, denotado como ε, se define como el cociente entre el error absoluto ΔX y la cantidad medida X. En términos matemáticos queda como ε_r = ΔX / X.

Se trata de una cantidad adimensional, puesto que el error absoluto comparte las mismas dimensiones con la cantidad X. Con frecuencia se presenta en términos de porcentaje, en este caso, se habla del error relativo porcentual: ε_r% = (ΔX / X) . 100%.

La palabra “error” en el contexto de la física, no necesariamente tiene que ver con equivocaciones, aunque por supuesto es posible que ocurran, sino más bien con la falta de certeza en el resultado de una medida.

En ciencia, las medidas representan el soporte de todo proceso experimental, y por ello deben ser confiables. El error experimental cuantifica cuán confiable es o no una medida.

Su valor depende de diversos factores, como el tipo de instrumento utilizado y su estado, la adecuación del método para efectuar la medida, la definición del objeto a medir (el mensurando), si hay fallas en la calibración de los instrumentos, la habilidad del operador, la interacción entre el mensurando y el proceso de medición, y ciertos factores externos.

Estos factores dan como resultado que el valor medido difiera del valor real en una cierta cantidad. A esta diferencia se le conoce como incerteza, incertidumbre o error. Toda medida que se realice, por más simple que sea, tiene asociada una incertidumbre que naturalmente siempre se busca disminuir.

Fórmulas del error relativo

Para obtener el error relativo de una medida es preciso conocer la medida en cuestión y el error absoluto de la misma. El error absoluto se define como el módulo de la diferencia que hay entre el valor real de una magnitud y el valor medido:

ΔX = |X_real – X_medido|

De esta forma, aunque no se conozca el valor real, se tiene un intervalo de valores donde se sabe que se encuentra: X_medido – Δx ≤ X real ≤ X_medido + Δx

ΔX toma en cuenta todas las fuentes posibles de error, cada una de las cuales debe tener a su vez una valoración que el experimentador asigna, considerando la influencia que puedan llegar a tener.

Entre las fuentes posibles de error están la apreciación del instrumento, el error proveniente del método de medición y otras similares.

De todos estos factores, por lo general hay algunos que el experimentador no toma en cuenta, en el supuesto de que la incerteza introducida por ellos es muy pequeña.

Apreciación de un instrumento de medida

Puesto que la inmensa mayoría de las determinaciones experimentales requiere la lectura de una escala graduada o digital, el error de apreciación del instrumento es uno de los factores que debe tomarse en cuenta al momento de expresar el error absoluto de la medida.

La apreciación del instrumento es la menor división de su escala. Por ejemplo, la apreciación de una regla milimetrada es 1 mm. Si el instrumento es digital, la apreciación es el cambio más pequeño que tiene el último dígito a la derecha mostrado en la pantalla.

Cuanto mayor es la apreciación, menor es la precisión del instrumento. Por el contrario, a menor apreciación, más preciso es.

¿Cómo se calcula el error relativo?

Una vez realizada la medida X y conocido el error absoluto ΔX, el error relativo toma la forma indicada al comienzo: ε_r = ΔX / X o ε_r% = (ΔX / X) . 100%.

Por ejemplo, si se ha efectuado la medida de una longitud, la cual arrojó el valor de (25 ± 4) cm, el error relativo porcentual fue de ε_r% = (4 / 25) x 100% =16%.

Lo bueno del error relativo es que permite comparar mediciones tanto de iguales como de distintas magnitudes y determinar la calidad de las mismas. De esta forma se conoce si la medida es aceptable o no. Comparemos las siguientes medidas directas:

• Una resistencia eléctrica de (20 ± 2) ohmios.
• Otra de (95 ± 5) ohmios.

Podríamos vernos tentados a afirmar que la primera medida es mejor, ya que el error absoluto fue más pequeño, pero antes de decidir, comparemos los errores relativos.

En el primer caso, el error relativo porcentual es ε_r% = (2 / 20) x 100% = 10% y en el segundo fue ε_r% = (5 / 95) x 100% ≈ 5%, en cuyo caso consideraremos esta medida de mayor calidad, pese a tener un error absoluto mayor.

Estos fueron dos ejemplos ilustrativos. En un laboratorio de investigación el error porcentual máximo aceptable se considera entre 1% y 5%.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

En el empaque de una pieza de madera aparece especificado el valor nominal de su longitud en 130.0 cm, pero queremos asegurarnos de la verdadera longitud y al medirla con una cinta métrica se obtiene 130.5 cm. ¿Cuál es el error absoluto y cuál es el error relativo porcentual de esta única medida?

Solución

Supongamos que el valor especificado de fábrica es el valor verdadero de la longitud. Realmente a este nunca se lo puede conocer, ya que la medida de fábrica también posee su propia incertidumbre. Bajo este supuesto, el error absoluto es:

ΔX = |X_real – X_medido| = |130.0 – 130.5| cm = 0.5 cm.

Nótese que ΔX siempre es positivo. Nuestra medida es entonces:

Longitud = 130.1 ± 0.5 cm

Y su error relativo porcentual es de: e_r% = (0.5 / 130.5) x 100% ≈ 0.4%. Nada mal.

Ejercicio 2

La máquina que corta las barras en una compañía no es perfecta y sus piezas no son todas idénticas. Necesitamos conocer la tolerancia, para lo cual medimos 10 de sus barras con una cinta métrica y nos olvidamos del valor de fábrica. Después de efectuar las mediciones, se obtienen las siguientes cifras en centímetros:

• 130.1.
• 129.9.
• 129.8.
• 130.4.
• 130.5.
• 129.7.
• 129.6.
• 130.0.
• 130.2.
• 130.3.

¿Cuál es la longitud de una barra de esta fábrica y su respectiva tolerancia?

Solución

La longitud de la barra se calcula adecuadamente como el promedio de todas las lecturas:

L_media = 130.02 cm ≈ 130.0 cm

Y ahora el error absoluto: puesto que hemos empleado una cinta métrica cuya apreciación es de 1 mm y en el supuesto de que nuestra vista sea lo suficientemente buena para distinguir la mitad de 1 mm, el error de apreciación se establece en 0.5 mm = 0.05 cm.

Si se desea tomar en cuenta otras posibles fuentes de error, de las que se mencionaron en apartados anteriores, una buena forma de valorarlas es mediante la desviación estándar de las medidas realizadas, que se puede encontrar rápidamente con las funciones estadísticas de una calculadora científica:

σ_n-1 = 0.3 cm

Cálculo del error absoluto y el error relativo

El error absoluto ΔL es el error de apreciación del instrumento + la desviación estándar de los datos:

ΔL = 0.3 + 0.05 cm =0.35 cm ≈ 0.4 cm

La longitud de la barra es finalmente:

L = 130.0 ± 0.4 cm

El error relativo es: ε_r% = (0.4 / 130.0) x 100% ≈ 0.3%.

Referencias

1. Jasen, P. Introducción a la teoría de los errores de medición. Recuperado de fisica.uns.edu.ar.
2. Laredo, E. Laboratorio de Física I. Universidad Simón Bolívar. Recuperado de fimac.labd.usb.ve.
3. Prevosto, L. Sobre mediciones físicas. Recuperado de frvt.utn.edu.ar.
4. Universidad Tecnológica del Perú. Manual de Laboratorio de Física General.
5. Error experimental. Recuperado de es.wikipedia.org.