Integral

Das Integral ist ein wichtiges Konzept in der Mathematik. Es ist neben der Differenzierung eines von zwei Hauptoperationen in der Infinitesimalrechung. Integral- und Differenzialrechnung sind inverse Operationen. Das heißt, integriert man eine Funktion f und differenziert sie, erhält man wieder die Ausgangsfunktion f. Üblicherweise werden integrierte Funktionen mit Großbuchstaben geschrieben (F).

Integrale unterscheidet man in bestimmte Integrale und unbestimmte Integrale. Ein bestimmtes integral ist definiert als die Fläche, die von dem Graphen der Funktion f auf dem Intervall [a, b] eingeschlossen wird, wobei die vertikalen Linien x = a und x = b als Begrenzung dienen. Die Fläche oberhalb der x-Achse besitzt ein positives Vorzeichen, während die Fläche unterhalb der x-Achse von der Gesamtfläche subtrahiert wird.

Integration kann aber auch definiert werden als die inverse Operation zur Differenzialrechnung. In diesem Fall wäre das Integral die Stammfunktion einer Funktion f und damit ein unbestimmtes Integral. Die Stammfunktion ist nicht auf einem Intervall definiert.

Die Prinzipien der Integrationsrechnung wurden unabhängig voneinander von Sir Isaac Newton und Gottfried Leibniz im späten 17. Jahrhundert formuliert und waren ursprünglich definiert als eine unendliche Summe aus Rechtecken unendlich kleiner Breite. Eine genauere mathematische Definition des Integralbegriffs wurde im 19. Jahrhundert von Bernhard Riemann gemacht.
Vor allem in der differenziellen Geometrie spielen Integrale eine zentrale Rolle. Die ersten Verallgemeinerungen des Integralbegriffs wurden von der Physik vorangetrieben, in der Integration eine wichtige Rolle vieler physikalischer Gesetze spielt, vor allem in der Elektrodynamik.

Geschichtliche Entwicklung der Integralrechnung

Die erste dokumentierte mathematische Methode zur Berechnung von Flächen, also der Integration, war die Exhaustionsmethode, entwickelt vom griechischen Astronom Eudoxus von Knidos (ca. 370 v. Chr.). Der antike griechische Philosoph Antiphon war davon überzeugt, dass man den Kreis Quartieren könne, da sich jedes beliebige andere Polygon in ein Quadrat umwandeln lässt. Er ging davon aus, dass ein Polygon ab einer gewissen Seitenzahl identisch wäre mit einem Kreis. Auf Basis dieser Überlegung entwickelte Eudoxus die Exhaustionsmethode. Die unbekannte Fläche einer beliebigen Figur oder eines beliebigen Polygons kann mathematisch ermittelt werden, indem dessen Fläche mit Polygonen gefüllt werden, dessen Flächenberechnung bekannt ist. Lässt man die Anzahl dieser Polygone gegen unendlich konvertieren, wird ihre Fläche unendlich klein während ihrer Anzahl unendlich groß wird. Dadurch wird die Differenz zwischen der Fläche der Polygone und der Fläche der Figur unendlich klein. Archimedes entwickelte diese Methode dritten Jahrhundert vor Christus weiter, um die Flächen von Parabeln und des Kreises zu approximieren.

Der nächste Meilenstein für die Integralrechnung wurde von dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri im 16. Jahrhundert gemacht. Er entdeckte mit dem nach ihm benannten Prinzip von Cavalieri, dass Polygone (im zweidimensionalen Raum) und Figuren (im dreidimensionalen Raum) unter gewissen Umständen gleich sind. Des Weiteren berechnete er die Integrale von xⁿ bis zu n = 9.

Erste Hinweise darauf, dass eine Verbindung zwischen Integral- und Differenzialrechnung besteht, wurden Anfang des 17. Jahrhunderts von Torricelli und Barrow gemacht. Barrow stellt den ersten Beweis für den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung auf. Der englische Mathematiker John Wallis erweiterte die Formel von Cavalieri auf beliebige Potenzen (auch negative Zahlen und Brüche).

Leibniz und Newton

Unabhängig voneinander entdeckten Gottfried Leibniz und Sir Isaac Newton den Fundamentalsatz der Analysis. Das Theorem stellt die Verbindung zwischen Integralrechnung und Differenzialrechnung her. Diese Verbindung, zusammen mit der Tatsache, dass Ableitungen sich relativ einfach berechnen lassen, kann verwendet werden, um wiederum Integrale zu berechnen. Die Arbeit von Leibniz und Newton stellt die Basis der modernen Analysis dar, wobei die Schreibweise für Integrale von Leibniz eingeführt wurde, und noch heute so verwendet wird.

Terminologie und Schreibweise

• Integral
  Die Schreibweise für das Integral, so wie wir sie heute benutzen, wurde ursprünglich von Gottfried Wilhelm Leibniz erfunden. Es soll ein stilisiertes „S“ (für „Summe“) darstellen und ausdrücken, dass wir die Summe der Fläche einer unendlichen Anzahl an Rechtecken (Riemann-Integral) zusammen zählen, die alle eine unendlich kleine Breite haben.
• Ober- und Untergrenze
  Die Ober- und Untergrenze ist nur für bestimmte Integrale von Bedeutung. Ober- und Untergrenze müssen keine Zahlen sein. Auch Variablen, Terme oder ±∞ sind möglich. Sollten die Integrationsgrenzen angegeben werden, spricht man von einem bestimmten Integral. Ein Integral ohne Ober- und Untergrenze nennt man hingegen unbestimmtes Integral.
  Sollte die Unendlichkeit als Integrationsgrenze angegeben sein, so ist es möglich, dass das Ergebnis der Integration auf einem bestimmten Wert zu strebt. Hier ist dann in der Regel die Betrachtung des Grenzwertes erforderlich!
• Integrand
  Der Integrand ist die Funktion, die integriert werden soll. Auch wenn der Integrand meistens eine Funktion der Integrationsvariable ist, so muss dies nicht unbedingt der Fall sein.
• Differential
  Das Differential hat eine historische Bedeutung. Nehmen wir als Beispiel das Riemann-Integral. Hier werden Rechtecke benutzt, um die Fläche zwischen Kurve und x-Achse zu berechnen. Umso kleiner die Breite der Rechtecke, umso genauer das Ergebnis des Riemann-Integrals. Das d gibt genau dies an: es sagt uns, dass wir die Breite der Rechtecks quasi unendlich klein werden lassen müssen.
• Integrationsvariable
  Die Integrationsvariable gibt an, welche Variable für den Vorgang der Integration von Bedeutung ist. Es ist wichtig die Integrationsvariable zu beachten, da sie nicht immer x ist. Besonders in der Physik und anderen Naturwissenschaften werden häufig andere Variablen wie beispielsweise t für die Zeit oder r für den Radius benutzt.

Bestimmtes Integral

Sind bei einem Integral die Integrationsgrenzen angegeben, so nennt man es bestimmtes Integral. Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, müssen Ober- und Untergrenze eingesetzt werden, und ein Wert errechnet werden. Dieser Wert entspricht der Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in dem Intervall [a, b]. Verläuft die Funktion unterhalb der x-Achse, ist das Ergebnis negativ.

Ein bestimmtes Integral wird so berechnet:

Nachdem die Stammfunktion bestimmt wurde, werden Obergrenze und Untergrenze eingesetzt und voneinander subtrahiert. Dies wird auch als zweiter Hauptsatz der Analysis bezeichnet.

Negative Fläche

Die Stammfunktion der Funktion \( f(x) = x \) ist \( F(x) = \frac{x^2}{2} \). Damit wäre das bestimmte Integral von 0 bis 1 von f gleich \( \int_{0}^{1}{x}\,\mathrm{d}x = F(1)-F(0) = \frac{1}{2}-0 = \boxed{\tfrac{1}{2}} \). Wie man anhand des Graphen (rechts) sehen kann, liegt der Graph der Funktion f(x) = x für Werte kleiner als Null unterhalb der x-Achse. Da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist der Betrag der Fläche, ausgehend vom Ursprung, identisch (lediglich das Vorzeichen ist anders). Daher ist das Integral von -1 bis 1 gleich Null:

Will man daher die absolute Fläche berechnen, so muss man zuerst die Nullstellen von f(x) bestimmen, und dann jeweils von der unteren Grenze zu der Nullstelle und von der Nullstelle zu der oberen Grenze ein Integral bilden. Da die Fläche auch negativ sein kann, addieren wir den Betrag der Summen. Die absolute Fläche wäre also:

Unbestimmtes Integral (Stammfunktion)

Das unbestimmte Integral (auch Stammfunktion genannt), kann als Umkehrung des Differenzierens angesehen werden. Da die Ableitung die Funktion nicht vollständig bestimmt, fügen wir „+C“ an die Stammfunktion an (man kann jede beliebige Konstante an eine Ausgangsfunktion f anfügen und ihre Ableitung wird gleich bleiben). Dies ist die Integrationskonstante.

Im Gegensatz zu dem bestimmten Integral, ist die Stammfunktion nicht auf einem Intervall bestimmt, sondern allgemein, die Funktion die die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen bestimmt. Damit ist die Stammfunktion meistens der Ausgangspunkt für die Berechnung der Fläche.

Im übrigen sollte angemerkt werden, dass wir hier zwar meistens von Fläche sprechen, dies allerdings je nach Kontext und Fragestellung nicht zwangsläufig korrekt ist. Von einem physikalischen Standpunkt aus betrachtet (und damit einem anwendungsorientierten Standpunkt) sucht man nur sehr selten eine Fläche, wenn man integriert.