Ahora nos adentraremos en una serie de ejercicios resueltos de límites de funciones para aplicar de manera práctica todo lo aprendido. A través de estos ejemplos, utilizaremos las diversas propiedades de los límites y aplicaremos técnicas de resolución como la sustitución directa, factorización y racionalización. Además, exploraremos técnicas avanzadas como la Regla de L’Hôpital. Estos ejercicios abarcarán desde problemas básicos hasta casos de límites indeterminados, ofreciendo una visión integral de cómo resolver problemas de límites de funciones. ¡Prepárate para profundizar en el mundo de los límites y mejorar tus habilidades de resolución de problemas!
Ejercicio 1:
Calcular el límite de la función $f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2}$ cuando $x$ tiende a 2.
Solución:
Para calcular este límite, podemos intentar una sustitución directa. Sin embargo, si sustituimos $x = 2$ directamente, obtenemos una forma indeterminada (0/0), lo que indica que debemos simplificar la expresión primero.
Factorizamos el numerador:
$$f(x) = \frac{(x + 2)(x – 2)}{x – 2}$$
Cancelamos el factor común (x – 2) en el numerador y el denominador:
$$f(x) = x + 2$$
Ahora podemos realizar la sustitución directa:
$$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$$
Por lo tanto, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} = 4$.
Ejercicio 2:
Calcular el límite de la función $g(x) = \frac{x^2 – 9}{x – 3}$ cuando $x$ tiende a 3.
Solución:
Al igual que en el ejercicio anterior, comenzamos factorizando el numerador:
$$g(x) = \frac{(x + 3)(x – 3)}{x – 3}$$
Cancelamos el factor común (x – 3) en el numerador y el denominador:
$$g(x) = x + 3$$
Realizamos la sustitución directa:
$$\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$$
Por lo tanto, $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6$.
Estos son solo dos ejemplos simples de cómo calcular límites utilizando factorización y simplificación algebraica.