Rudin书上定义了有序集，这个“序”的概念是独立存在的，还是说依赖于在集合上定义好的运算,如下所述?

老实说, 我不是很想回答这个问题, 因为在我看来能问出这个问题, 要么缺乏maturity, 要么缺乏自己思考的能力. (而且, 我在b站最近遇到了一个奇葩, 在不知道任何分析, 代数, 几何的概念的情况下开始假装自己学习代数几何, 翻译某本德文的代数几何教程 (其实他最初以为代数几何是代数和几何的意思). 因为他是高中生, 我就没怼他, 而是提了一点学习数学的建议. 结果他就直接把他煞有介事的那数个小时的学习教程直接删了 (要我当然舍不得删, 毕竟我录一分钟音都累得不行, 更别提他这种录几个小时露脸视频的了), 然后把b站签名从"我为数学生, 我为数学死"改成了"滚!".)

如果就谈现代数学, 谈集合 A 上的一个(偏)序关系 R , 那么对于主流数学家而言, 关系 R 仅仅是 A \times A 的一个子集, 满足自反, 传递, 反对称的性质. 也就是说, 数学家一般将关系的外延当作关系本身. (当然, 这里Rudin所说的有序集, 指的是链, 或者说全序集, 即任意两个元素之间均能比较大小.) 当然, 序关系不必定义在集合上, 还可能定义在真类上, 比如集合之间的包含关系实际上也满足自反, 传递, 反对称的性质. 另外, 任意的集合上都有一个离散序, 仅包含"对角线".

你的问题, 在我看来, 只是考虑一个关系是否必须考虑其内涵. (或者说, 这是一个更小的问题, 即是否这个内涵一定依赖于某种运算, 这个小的问题的答案显然是否定的. 而且如果我没记错的话, 在Baby Rudin的第一章附录里, 就有某种意义上对于你这个问题的回答.) 当然, 是否必须考虑内涵或多或少是一个哲学问题, 这必须只能由你自己来回答了.